Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

31
Таким образом, наше предположение неверно, и j
0
не может содер-
жаться в спектре оптимальной стратегии игрока 2.
Определение 23. Пусть
00
Г,,,Г ,,,ABH A B H
′′
=< > =< >
где A, B –
множества чистых стратегий игроков 1 и 2;
00
,,AABBH
′
⊂⊂
– суже-
ние
H
на
00
.AB×
Тогда
Г
′
называют подыгрой Г.
Из определения следует, что множество смешанных стратегий в смешан-
ном расширении
Г
′
содержится в множестве смешанных стратегий игры Г.
Теорема 14. 1. Г
=
>< HBA ,,
– конечная антагонистическая игра.
0
Г\,,Ai B H
′
=< >
– подыгра игры Г.
2.
0
i
– чистая стратегия игрока 1 в игре Г, доминируемая некоторой
0
X
, в спектре которой она не содержится. Тогда всякое решение
**
(, ,)XYV
игры
Г
′
является решением Г.
Без доказательства.
Теорема 15. 1. Г
=
>< HBA ,,
0
Г,\,AB j H
′
=< >
– подыгра игры Г.
2.
0
j
– чистая стратегия игрока 2, доминируемая некоторой
0
Y
, в
спектре которой она не содержится. Тогда всякое решение
Г
′
является
решением Г.
Без доказательства.
Теорема 16. 1. i
0
– чистая стратегия игрока 1 в игре Г, доминируемая
некоторой смешанной стратегией X
0
, не содержащей i
0
в своем спектре.
2. j
0
– чистая стратегия игрока 2 в игре Г, доминируемая некоторой
смешанной стратегией Y
0
, не содержащей j
0
в своем спектре.
3.
00
Г\,\,Ai B j H
′′
=< >
– подыгра Г. Тогда всякое решение
Г
′′
яв-
ляется решением Г.
Без доказательства.
Теорема 17 (теорема об афинных преобразованиях).
Пусть
),,(
**
VYX
– решение игры
Г,,.AB H=< >
Тогда
),,(
**
CkVYX
+
– решение игры
Г,, ,AB kH C
′
=< + >
где
RCk ∈> ,0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
()( )( )
jXHYXHYiH ,,,
****
≤≤
(16.8)
при всех
BjAi ∈∈ ,
.
Это условие оптимальности
*
X
и
*
Y
(см. теорему 5) в игре Г.
Двойное неравенство (16.8) равносильно двойному неравенству
() ( ) ( )
CjXkHCYXkHCYikH
+≤+≤+
,,,
****
(16.9)
при всех
BjAi ∈∈ ,
.

Страницы