Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

30
Тогда по теореме 5 для любого i верно
*
0
.
T
i
AY V
<
(16.2)
Предположим, что утверждение теоремы 12 неверно. Это значит, что
*
0
.
T
i
AY V
⋅
<
(16.3)
Суммируя по i неравенства (16.2), умноженные каждое на
*
i
x
, и
учитывая неравенство (16.3), получим
***
** *
.
TT
ii i i
iii
XAY xAY xV V x V
⋅
=<==
∑∑∑
Таким образом, получено
**
,
T
XAY V
<
что противоречит ра-
венству (16.1).
Значит, наше предположение неверно и утверждение теоремы 12
справедливо, т. е.
VYA
T
i
=
*
0
. Что и требовалось доказать.
Утверждение теоремы 12 можно записать следующим образом: если
**
,XY
– оптимальные стратегии игроков 1 и 2, то
00
*
*
1
,
n
T
iijj
j
AY a y V
⋅
=
==
∑
для i
0
таких, что
0
*
0,
i
x
>
(16.4)
00
*
*
1
,
m
jiji
i
XA a x V
⋅
=
==
∑
для j
0
таких, что
0
*
0.
j
y
>
(16.5)
Теорема 13. Ни одна строго доминируемая чистая стратегия игрока
не содержится в спектре его оптимальной стратегии.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
0
Y
строго доминирует чистую j
0
,
а X* – некоторая оптимальная стратегия игрока 1. Тогда
0
0ii
Aj AY
⋅⋅
>
при всех i. Домножая эти неравенства на
*
i
x
каждое и суммируя по
i, получим
**0
0
.
i
XAj XAY
⋅
>
(16.6)
Предположим, j
0
содержится в спектре некоторой оптимальной стра-
тегии игрока 2. Тогда по теореме 12
0
**
0
.
ij
XAj XA V
⋅⋅
==
(16.7)
Сравнивая выражения (16.6) и (16.7), имеем
*0
,XAY V
<
а это про-
тиворечит оптимальности стратегии
*
X
(см. (14.2)).

Страницы