Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

28
15. Три свойства значения игры
Теорема 9. В матричной игре с матрицей выигрышей
A
()
max min min max ,
T
ji
jY
Xi
VA XA AY
⋅⋅
==
(15.1)
причем внешние экстремумы достигаются на оптимальных стратегиях
игроков.
Приводится без доказательства.
Теорема 10. Для любой матрицы
A
верно
()
max min min max ,
ij ij
jj
ii
aVA a
≤≤
(15.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Докажем левое неравенство.
Из выражения (15.1) следует, что
()
max min .
j
j
X
VA XA
⋅
=
Но
max min max min max min ,
jjij
jjj
Xii
XA iA a
⋅⋅
≥=
так как переход от про-
извольных смешанных стратегий к частным лишь сужает область мак-
симизации и может лишь уменьшить внешний максимум.
()
max min ,
ij
j
i
VA a
⇒≥
что и требовалось доказать.
2. Правая часть неравенства доказывается аналогично.
Теорема 11. 1. Если игрок 1 имеет чистую оптимальную стратегию i
0
, то
0
max min min .
ij i j
jj
i
Vaa
==
(15.3)
2. Если игрок 2 имеет чистую оптимальную стратегию j
0
, то
0
min max max .
ij ij
j
ii
Vaa==
(15.4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Согласно (15.1)
max min .
j
j
X
VXA
⋅
=
Из
условия теоремы максимум достигается на
0
,Xi=
т. е.
0
0
max min min min ,
jjij
jjj
X
XA i A a
⋅⋅
==
что и требовалось доказать.
2. Доказывается аналогично.

Страницы