Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26
14. Существование минимаксов
в смешанных стратегиях. Равенство минимаксов
Лемма 2. 1. При любом
0 n
YS∈
существует максимум
0
max .
T
X
XAY
2. При любом
0 m
XS∈
существует минимум
0
min .
T
Y
XAY
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Рассмотрим функцию
100
( , ..., ) .
TT
mii
i
F x x XAY x AY==
∑
Эта функция линейна по
1
, ..., ,
m
xx
а потому является непрерывной функцией от
1
, ..., .
m
xx
Множество S
m
– замкнутое, ограниченное.
⇒
Функция
1
( , ..., )
m
Fx x
достигает на S
m
(в силу непрерывности) своего максимума.
2. Второе утверждение леммы доказывается аналогично.
Лемма 3. 1.
max
T
X
XAY
– непрерывная функция Y.
2.
min
T
Y
XAY
– непрерывная функция X.
Данная лемма приводится без доказательств.
Теорема 7. Минимаксы
max min
T
Y
X
XAY
и
min max
T
Y
X
XAY
существуют.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1.
n
S
– замкнутое ограниченное множество
⇒
функция
max
T
X
XAY
достигает на
n
S
(в силу непрерывности) сво-
его минимума, т. е.
min max
T
Y
X
XAY
существует.
Аналогично доказывается существование
max min .
T
Y
X
XAY
Теорема 8. (теорема о минимаксах)
Какова бы ни была матрица
:A
max min min max .
TT
YY
XX
XAY XAY=

(14.1)
Или, другими словами, равновесные смешанные стратегии игроков
существуют.
Без доказательства.

Страницы