Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

25
Теорема 5. Для того чтобы ситуация
()
**
,XY
была равновесной,
необходимо и достаточно, чтобы при всех
1, ...,im=
и
1, ...,jn=
выполнялись неравенства
****
.
TT
ij
AY X AY X A
≤≤
(13.6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Необходимость. Пусть
()
**
,XY
–
ситуация равновесия.
⇒
верны неравенства (13.4) при всех
n
XS
∈
и
n
YS
∈⇒
верны неравенства (13.6), так как они получаются из нера-
венств (13.4) как частный случай при
,.
T
T
ij
Xl Y l==
2. Достаточность. Пусть верны неравенства (13.6) при всех
1, ...,im
=
и
1, ..., .jn
=
Применим к обеим сторонам неравенств
(13.6) лемму о переходе к смешанным стратегиям. Это даст нам нера-
венства (13.4).
Теорема 6. Если ситуация
()
**
,ij
в чистых стратегиях является рав-
новесной для матричной игры с матрицей
,A
то она является равновес-
ной и для ее смешанного расширения.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
()
**
,ij
– равновесная ситуация в матрич-
ной игре с матрицей
,A
****
1, ..., , 1, ..., .
ij ij ij
aa a i mi n⇔≤ ≤ ∀= ∀=
(13.7)
Но неравенства (13.6) превращаются в (13.7), если подставить
*** *
,.XiY j==
Значит, неравенства (13.6) справедливы для таких
**
,XY
и ситуация (
*** *
,XiY j==
) – равновесная ситуация для сме-
шанного расширения игры. Оказывается, что ситуации равновесия в
смешанном расширении существуют для любой матричной игры.
Замечание. Далее удобно обозначать смешанную стратегию, соот-
ветствующую чистой стратегии
i
, тем же символом i. Тогда,
,.
T
ij
iA A Aj A
⋅⋅
⋅= ⋅ =

(13.8)

Страницы