Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

24
()
1
1
1
, ..., ...
n
T
nii
i
n
w
ZW z z z w
w
=


==
∑



– скалярное произведение векто-
ров Z и W.
Таким образом,
()
,.
T
HX Y XAY
=
(13.3)
Вспоминая определение седловой точки антагонистической игры,
получаем, что в смешанном расширении матричной игры ситуация
()
**
,XY
является седловой точкой (ситуацией равновесия), если вы-
полняется двойное неравенство
****
,,
T
TT
mn
XAY X AY X AY X S Y S≤≤ ∀∈∀∈

()( )()
****
,,,.HX Y HX Y HX Y
≤≤
(13.4)
Лемма 1 (о переходе к смешанным стратегиям).
Пусть Y – произвольная стратегия игрока 2, a – некоторое число:
, 1, ..., ,
T
i
AY a i m≤=
(13.5)
тогда для любой смешанной стратегии
1
( , ..., ),
nm
Xx x XS
=∈
верно
T
XAY a≤
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножим каждое из неравенств (13.5) на x
i
(знак неравенства не изменится, так как
0
i
x
≥
). Получим
, 1, ..., .
T
ii i
xAY xa i m≤=
Сложим все полученные неравенства:
111
1,
mmm
TT
ii i i
iii
XAY x AY x a a x a a
===
=≤==⋅=
∑∑∑
что и требовалось доказать.
Замечание. Точно так же осуществляются переходы к смешанным
стратегиям в неравенствах вида
1, ..., ,
1, ..., ,
1, ..., .
TT
im
T
jn
T
jn
AY a i m XAY a X S
XA a j n XAY a Y S
XA a j n XAY a Y S
≥= ⇒ ≥∀∈
≤= ⇒ ≤∀∈
≥= ⇒ ≥∀∈

Страницы