Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда согласно закону Всемирного тяготения (Ньютона) малый элемент
тела с массой ∆m = ρ ∆V притягивает материальную точку m
0
с силой
∆F = G
m
0
∆m
R
3
R ,
где R = r − r
0
, R = |r − r
0
| =
p
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
. Ком-
поненты вектора ∆F равны
∆F
x
= G
m
0
(x − x
0
) ρ(x, y, z) ∆x ∆y ∆z
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
∆F
y
= G
m
0
(y − y
0
) ρ(x, y, z) ∆x ∆y ∆z
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
∆F
z
= G
m
0
(z − z
0
) ρ(x, y, z) ∆x ∆y ∆z
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
.
Для вычисления гравитационной силы F , с которой тело V притягивает
материальную точку с массой m
0
необходимо просуммировать все эле-
ментарные силы ∆F и устремить объемы всех элементарных областей к
нулю. В результате получим:
F = G m
0
ZZZ
V
R ρ
R
3
dV ,
или покомпонентно:
F
x
= G m
0
ZZZ
V
(x − x
0
) ρ(x, y, z) dx dy dz
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
F
y
= G m
0
ZZZ
V
(y − y
0
) ρ(x, y, z) dx dy dz
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
F
z
= G m
0
ZZZ
V
(z − z
0
) ρ(x, y, z) dx dy dz
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
.
Гравитационный (ньютоновский) потенциал в точке r
0
(x
0
, y
0
, z
0
) ра-
вен
Φ(x
0
, y
0
, z
0
) = G
ZZZ
V
ρ(x, y, z) dx dy dz
p
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
.
46
Тогда согласно закону Всемирного тяготения (Ньютона) малый элемент
тела с массой ∆m = ρ ∆V притягивает материальную точку m0 с силой
                                  m0 ∆m
                          ∆F = G           R,
                                    R3
                                p
где R = r − r0 , R = |r − r0 | = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 . Ком-
поненты вектора ∆F равны
                              m0 (x − x0 ) ρ(x, y, z) ∆x ∆y ∆z
                ∆Fx = G                                               ,
                           ((x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 )3/2
                       m0 (y − y0 ) ρ(x, y, z) ∆x ∆y ∆z
                ∆Fy = G                                        ,
                    ((x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 )3/2
                       m0 (z − z0 ) ρ(x, y, z) ∆x ∆y ∆z
           ∆Fz = G                                             .
                    ((x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 )3/2
Для вычисления гравитационной силы F , с которой тело V притягивает
материальную точку с массой m0 необходимо просуммировать все эле-
ментарные силы ∆F и устремить объемы всех элементарных областей к
нулю. В результате получим:
                                               ZZZ
                                                     Rρ
                                 F = G m0               dV ,
                                                     R3
                                               V
или покомпонентно:
                         ZZZ
                                      (x − x0 ) ρ(x, y, z) dx dy dz
            Fx = G m0                                                       ,
                                 ((x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 )3/2
                          V
                         ZZZ
                                      (y − y0 ) ρ(x, y, z) dx dy dz
            Fy = G m0                                                       ,
                                 ((x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 )3/2
                          V
                         ZZZ
                                      (z − z0 ) ρ(x, y, z) dx dy dz
            Fz = G m0                                                       .
                                 ((x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 )3/2
                      V
      Гравитационный (ньютоновский) потенциал в точке r0 (x0 , y0 , z0 ) ра-
вен                              ZZZ
                                                    ρ(x, y, z) dx dy dz
          Φ(x0 , y0 , z0 ) = G         p                                          .
                                           (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
                                 V
                                               46

Страницы