Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений. Даширабданов В.Д - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

11
хорды с осью x. Затем на вновь выбранном участке
[a,x
1
] опять стягиваем дугу хордой и получаем
следующее приближение x
2
. Таким образом,
приближения продолжаются до тех пор, пока не
будет удовлетворено условие:
│x
n+1
-x
n
│< ε
где ε есть заданная точность, x
n+1
- последующее
приближение, а x
n
- текущее приближение.
Для выбора интервала (из двух [a,x
1
] или [x
1
,b]),
используем условие
если F(a)*F(x
1
)<0, то выбираем [a,x
1
]
если F(x
1
)*F(b)<0, то выбираем [x
1
,b] (1.6)
Для аналитического решения необходимо
описать хорду, проходящую через точки (a, F(a)) и
(b,F(b)) уравнением
y = F(a) + [(F(b) - F(a))/(b – a)]*(x – a) (1.7)
приравнивая это уравнение к нулю, находим
пересечение хорды с осью x, то есть точку x
1
.
x
1
= a – F(a)*(b – a)/(F(b) – F(a)) или
x
1
= (a*F(b) – b*F(a))/(F(b) – F(a)) (1.8)
12
Эта формула в зависимости от выбранного
интервала используется для аналитического
решения уравнения в общем виде:
x
n+1
= (a*F(x
n
) – x
n
*F(a))/(F(x
n
) – F(a))
если был выбран [a, x
n
]
x
n+1
= (x
n
*F(b) – b *F(x
n
))/(F(b) – F(x
n
))
если был выбран [ x
n
,b] ( 1.9).
Пример:
Лабораторная работа
Решение трансцендентного уравнения методом
хорд
1.Определим корень уравнения x
r
«ручным»
способом в среде Mathcad
ε 0.001:=
tan 0.5 x⋅ 0.1+()x
2
− 0 Fx( ) tan 0.5 x⋅ 0.1+()x
2
−:=
Зададимся произвольным интервалом
x 1.8
−
1.4
−
,
1.8
.
.:=
                           11                                                            12

хорды с осью x. Затем на вновь выбранном участке         Эта формула в зависимости от выбранного
[a,x1] опять стягиваем дугу хордой и получаем            интервала используется для аналитического
следующее приближение x2. Таким образом,                 решения уравнения в общем виде:
приближения продолжаются до тех пор, пока не
будет удовлетворено условие:                                   xn+1 = (a*F(xn) – xn *F(a))/(F(xn) – F(a))
            │xn+1-xn│< ε                                 если был выбран [a, xn]
                                                               xn+1 = (xn *F(b) – b *F(xn))/(F(b) – F(xn))
где ε есть заданная точность, xn+1- последующее          если был выбран [ xn,b] ( 1.9).
приближение, а xn- текущее приближение.

Для выбора интервала (из двух [a,x1] или [x1,b]),        Пример:
используем условие

  если F(a)*F(x1)<0, то выбираем [a,x1]                                Лабораторная работа
   если F(x1)*F(b)<0, то выбираем [x1,b]         (1.6)     Решение трансцендентного уравнения методом
                                                                              хорд
      Для аналитического решения необходимо                 1.Определим корень уравнения xr «ручным»
описать хорду, проходящую через точки (a, F(a)) и                   способом в среде Mathcad
(b,F(b)) уравнением
                                                                   ε := 0.001
    y = F(a) + [(F(b) - F(a))/(b – a)]*(x – a)   (1.7)
                                                                                 2                                             2
                                                         tan ( 0.5 ⋅ x + 0.1) − x    0        F ( x) := tan ( 0.5 ⋅ x + 0.1) − x
приравнивая это уравнение к нулю, находим
пересечение хорды с осью x, то есть точку x1.
                                                                Зададимся произвольным интервалом
    x1 = a – F(a)*(b – a)/(F(b) – F(a)) или
    x1 = (a*F(b) – b*F(a))/(F(b) – F(a))         (1.8)             x := −1.8 , −1.4 .. 1.8

Страницы