Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22 Структура белых карликов.
Сила, связанная с градиентом давления и действующая на единицу
объема, равна −dP/dr. Когда звезда находится в равновесии, резуль-
тирующая этих сил (гравитации и давления), приложенная к любому
пробному объему вещества, должна быть равна нулю. Так что, ис-
пользуя (1), получаем
dP
dr
= −
Gm(r)
r
2
ρ(r). (3)
Соотношение между плотностью и массой получим, продифференци-
ровав (2):
dm
dr
= 4πr
2
ρ(r). (4)
Чтобы описание системы было полным, необходимо знать уравнение
состояния вещества, связывающее его плотность с величиной давле-
ния, необходимого для поддержания этой плотности. Используя тож-
дество
dP
dr
=
dρ
dr
dP
dρ
,
уравнение (3) можно переписать в виде
dρ
dr
= −
dP
dρ
−1
Gm
r
2
ρ. (5)
Уравнения (4) и (5) являются системой двух обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений первого порядка, которые определяют струк-
туру звезды совместно с заданным уравнением P = P (ρ) состояния
ее вещества, которое имеет следующий вид:
dP
dρ
= Y
e
m
e
M
p
γ
ρ/ρ
0
1/3
, γ(x) =
x
2
3(1 + x
2
)
1/2
, (6)
где Y
e
— среднее число электронов, приходящихся на одно ядро, M
p
и
m
e
— масса протона и электрона соответственно, ρ
0
= 9.79 ·10
5
Y
−1
e
г ·
см
−3
.
1)
Начальные условия задаются в виде
ρ(0) = ρ
c
, m(0) = 0. (7)
1)
Все величины предполагаются заданными в системе СГС.
22                                                       Структура белых карликов.


Сила, связанная с градиентом давления и действующая на единицу
объема, равна −dP/dr. Когда звезда находится в равновесии, резуль-
тирующая этих сил (гравитации и давления), приложенная к любому
пробному объему вещества, должна быть равна нулю. Так что, ис-
пользуя (1), получаем
                                dP    Gm(r)
                                   =−       ρ(r).                              (3)
                                dr     r2
Соотношение между плотностью и массой получим, продифференци-
ровав (2):
                         dm
                              = 4πr2 ρ(r).                    (4)
                          dr
Чтобы описание системы было полным, необходимо знать уравнение
состояния вещества, связывающее его плотность с величиной давле-
ния, необходимого для поддержания этой плотности. Используя тож-
дество
                           dP    dρ dP
                               =        ,
                           dr    dr dρ
уравнение (3) можно переписать в виде
                              ( )−1
                      dρ       dP      Gm
                         =−                 ρ.                (5)
                      dr        dρ       r2
Уравнения (4) и (5) являются системой двух обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений первого порядка, которые определяют струк-
туру звезды совместно с заданным уравнением P = P (ρ) состояния
ее вещества, которое имеет следующий вид:
          dP       m e ((     )1/3 )               x2
              = Ye    γ ρ/ρ0         , γ(x) =               , (6)
          dρ       Mp                         3(1 + x2 )1/2
где Ye — среднее число электронов, приходящихся на одно ядро, Mp и
me — масса протона и электрона соответственно, ρ0 = 9.79 · 105 Ye−1 г ·
см−3 .1)
    Начальные условия задаются в виде

                               ρ(0) = ρc ,    m(0) = 0.                        (7)
 1)
      Все величины предполагаются заданными в системе СГС.

Страницы