Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

24 Структура белых карликов.
на произвольном отрезке [a, b], используя классический метод Рунге-
Кутта 4-го порядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
1
),
k
3
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
2
),
k
4
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
3
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 2k
2
+ 2k
3
+ k
4
)/6.
2. Показать, что при выборе γ(x) = x
3σ−3
искомая задача (10), (11)
имеет точное решение
¯ρ = ¯ρ
c
(sin ¯r/¯r) при σ = 2, ¯ρ = ¯ρ
c
(
1 + ¯r
2
/a
)
−5/2
при σ = 6/5,
где a = 15¯r
−4/5
c
. Используйте эти решения в качестве тестового для
отладки метода и ориентировочного выбора шага h.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
4
от выбранного шага h. Поясните
результаты вычислений.
4. При при помощи разработанной программу рассчитайте профи-
ли плотности, полные массу и радиус звезды для ряда значений ρ
c
(например, 10
−3
, 10
−2
, 10
−1
, 10, 10
2
, 10
3
, 10
4
) при Y
e
= 26/56 (это
соответствует
56
F ) и Y
e
= 1/2 (это соответствует
12
C). Вы должны
обнаружить, что масса карлика стремится при этом к некоторому
пределу M
ch
, называемому массой Чандрасекара. Определите M
ch
.
5. Повторите шаг 4 меняя теперь ρ
c
на интервале [10
−3
, 10
6
]. По-
стройте графики зависимости массы карлика M от его радиуса R при
указанных Y
e
(выбирая p
i
равномерно на отрезке показателей [−3, 6]
и полагая ρ
c
= 10
p
i
). Из астрономических наблюдений [2] известны
массы и радиусы белых карликов Сириус Б и 40 Эйри Б в единицах
солнечных (⊙) массы и радиуса. Они соответственно равны
(1.053 ± 0.028, 0.0074 ± 0.0006) и (0.48 ± 0.02, 0.0124 ± 0.0005).
Что можно сказать о составе вещества этих звезд исходя из анализа
построенных на этапе 5 графиков? Можно принять, что
M
⊙
= 1.98 · 10
33
г, R
⊙
= 6.95 · 10
10
см.
24                                                  Структура белых карликов.


на произвольном отрезке [a, b], используя классический метод Рунге-
Кутта 4-го порядка точности с постоянным шагом h:
                     k1 = f (tn , yn ),
                     k2 = f (tn + h/2, yn + h/2k1 ),
                     k3 = f (tn + h/2, yn + h/2k2 ),
                     k4 = f (tn + h, yn + hk3 ),
                     yn+1 = yn + h(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )/6.

2. Показать, что при выборе γ(x) = x3σ−3 искомая задача (10), (11)
имеет точное решение
                                            (          )−5/2
    ρ̄ = ρ̄c (sin r̄/r̄) при σ = 2, ρ̄ = ρ̄c 1 + r̄2 /a      при σ = 6/5,
              −4/5
где a = 15r̄c . Используйте эти решения в качестве тестового для
отладки метода и ориентировочного выбора шага h.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h4 от выбранного шага h. Поясните
результаты вычислений.
4. При при помощи разработанной программу рассчитайте профи-
ли плотности, полные массу и радиус звезды для ряда значений ρc
(например, 10−3 , 10−2 , 10−1 , 10, 102 , 103 , 104 ) при Ye = 26/56 (это
соответствует 56 F ) и Ye = 1/2 (это соответствует 12 C). Вы должны
обнаружить, что масса карлика стремится при этом к некоторому
пределу Mch , называемому массой Чандрасекара. Определите Mch .
    5. Повторите шаг 4 меняя теперь ρc на интервале [10−3 , 106 ]. По-
стройте графики зависимости массы карлика M от его радиуса R при
указанных Ye (выбирая pi равномерно на отрезке показателей [−3, 6]
и полагая ρc = 10pi ). Из астрономических наблюдений [2] известны
массы и радиусы белых карликов Сириус Б и 40 Эйри Б в единицах
солнечных (⊙) массы и радиуса. Они соответственно равны

     (1.053 ± 0.028, 0.0074 ± 0.0006) и (0.48 ± 0.02, 0.0124 ± 0.0005).

Что можно сказать о составе вещества этих звезд исходя из анализа
построенных на этапе 5 графиков? Можно принять, что

                     M⊙ = 1.98 · 1033 г, R⊙ = 6.95 · 1010 см.

Страницы