Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ограниченная задача трех тел. 39
точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ hk
1
/3),
k
3
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ hk
1
/6 + hk
2
/6),
k
4
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/8k
1
+ 3/8hk
3
),
k
5
= f(t
n
+ h, y
n
+ h/2k
1
− 3/2hk
3
+ 2hk
4
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 4k
4
+ k
5
)/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
1
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
y
′
2
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
2
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
y
1
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
, y
2
= sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
5
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (1), (2) при помощи разработанной про-
граммы. Рассчитать орбиту Аренсторфа. Учесть, что решения зада-
чи бесконечно дифференцируемы всюду за исключение двух точек
(−m, 0), (M, 0). Поэтому в окрестности начала и конца отрезка ин-
тегрирования необходимо выбирать существенно меньший шаг ин-
тегрирования h, чем в другие моменты времени. Построить график
орбиты в координатах (x, y), а также график скорости движения в
координатах (x
′
, y
′
).
Литература
1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. - М.: Мир, 1990.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
- М.: Наука, 1987.
Ограниченная задача трех тел.                                          39


точности с постоянным шагом h:
              k1 = f (tn , yn ),
              k2 = f (tn + h/3, yn + hk1 /3),
              k3 = f (tn + h/3, yn + hk1 /6 + hk2 /6),
              k4 = f (tn + h/2, yn + h/8k1 + 3/8hk3 ),
              k5 = f (tn + h, yn + h/2k1 − 3/2hk3 + 2hk4 ),
              yn+1 = yn + h(k1 + 4k4 + k5 )/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
              y1′ = − sin(t)/(1 + e2t )1/2 + y1 (y12 + y22 − 1),
              y2′ = cos(t)/(1 + e2t )1/2 + y2 (y12 + y22 − 1),

на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)

           y1 = cos(t)/(1 + e2t )1/2 ,   y2 = sin(t)/(1 + e2t )1/2 .

3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h5 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (1), (2) при помощи разработанной про-
граммы. Рассчитать орбиту Аренсторфа. Учесть, что решения зада-
чи бесконечно дифференцируемы всюду за исключение двух точек
(−m, 0), (M, 0). Поэтому в окрестности начала и конца отрезка ин-
тегрирования необходимо выбирать существенно меньший шаг ин-
тегрирования h, чем в другие моменты времени. Построить график
орбиты в координатах (x, y), а также график скорости движения в
координатах (x′ , y ′ ).

                                Литература

1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. - М.: Мир, 1990.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
- М.: Наука, 1987.

Страницы