Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Химические реакции: брюсселятор. 41
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ h/3k
1
),
k
3
= f(t
n
+ 2/3h, y
n
− h/3k
1
+ hk
2
),
k
4
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
1
− hk
2
+ hk
3
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 3k
2
+ 3k
3
+ k
4
)/8.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= y
2
, y
′
2
= 2y
2
1
(1 − 4t
2
y
1
),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
y
1
= 1/(1 + t
2
), y
2
= −2t/(1 + t
2
)
2
.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
4
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (3), (4) при помощи разработанной про-
граммы. Покажите, что стационарное решение (особая точка) урав-
нения (3) единственно и имеет вид y
1
= 1 , y
2
= y
3
= α с производной
∂f
∂y
=
α − 1 1 −1
−α −1 1
−α 0 −1
.
Характеристический многочлен этой матрицы равен λ
3
+ (3 −α)λ
2
+
(3 − 2α)λ + 1 = 0 и удовлетворяет условию устойчивости (т.е. дей-
ствительная часть корней многочлена строго меньше нуля) тогда и
только тогда, когда α < (9 −
√
17)/4 = 1.21922. Поэтому если α боль-
ше этого значения, появляется предельный цикл, который существует
Химические реакции: брюсселятор.                                  41


                                   Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида

                 y ′ = f (t, y),    y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,

на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                 k1 = f (tn , yn ),
                 k2 = f (tn + h/3, yn + h/3k1 ),
                 k3 = f (tn + 2/3h, yn − h/3k1 + hk2 ),
                 k4 = f (tn + h, yn + hk1 − hk2 + hk3 ),
                 yn+1 = yn + h(k1 + 3k2 + 3k3 + k4 )/8.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений

                    y1′ = y2 ,     y2′ = 2y12 (1 − 4t2 y1 ),

на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)

                 y1 = 1/(1 + t2 ),      y2 = −2t/(1 + t2 )2 .

3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h4 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (3), (4) при помощи разработанной про-
граммы. Покажите, что стационарное решение (особая точка) урав-
нения (3) единственно и имеет вид y1 = 1 , y2 = y3 = α с производной
                                            
                             α − 1 1 −1
                    ∂f
                        =  −α −1 1  .
                    ∂y
                              −α      0 −1

Характеристический многочлен этой матрицы равен λ3 + (3 − α)λ2 +
(3 − 2α)λ + 1 = 0 и удовлетворяет условию устойчивости (т.е. дей-
ствительная часть корней многочлена
                            √         строго меньше нуля) тогда и
только тогда, когда α < (9 − 17)/4 = 1.21922. Поэтому если α боль-
ше этого значения, появляется предельный цикл, который существует

Страницы