Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задание 7. Химические реакции: брюсселятор.
1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим модель Лефевра и Нико-
лиса (1971), так называемый “брюсселятор”: предположим, что шесть
веществ, A, B, D, E, X, Y , участвуют в следующих реакциях:
A
k
1
−→ X,
B + X
k
2
−→ E + D, (бимолекулярная реакция)
2X + Y
k
3
−→ 3X, (автокаталитическая 3-х молек. реакция) (1)
X
k
4
−→ E.
Если обозначить через A(t), B(t), . . ., концентрации веществ A, B, . . .
как функции времени t, то реакции (1), согласно закону действующих
масс, описываются следующими дифференциальными уравнениями в
предположении, что B добавляется к смеси с постоянной скоростью
α:
A
′
= −k
1
A,
B
′
= −k
2
BX + α,
D
′
= k
2
BX,
E
′
= k
4
X,
X
′
= k
1
A−k
2
BX + k
3
X
2
Y − k
4
X,
Y
′
= k
2
BX − k
3
X
2
Y .
(2)
Теперь упростим эту систему: исключим из рассмотрения уравнения
для D и E, так как они не влияют на остальные; предположим также,
что A поддерживается постоянным (A = 1) и возьмем все скорости
реакций k
i
равными единице. Далее, введем обозначения y
1
= X,
y
2
= Y , y
3
= B и в результате получим систему:
y
′
1
= 1 + y
2
1
y
2
− (y
3
+ 1)y
1
,
y
′
2
= y
1
y
3
− y
2
1
y
2
,
y
′
3
= −y
1
y
3
+α,
(3)
которая зависит лишь от одного параметра α. Уравнения (3) допол-
няются начальными условиями
y
1
(0) = 1, y
2
(0) = 1 + α, y
3
(0) = 1 + α. (4)
  Задание 7. Химические реакции: брюсселятор.

   1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим модель Лефевра и Нико-
лиса (1971), так называемый “брюсселятор”: предположим, что шесть
веществ, A, B, D, E, X, Y , участвуют в следующих реакциях:
             k
        A −→
           1
             X,
             k
   B + X −→
          2
            E + D, (бимолекулярная реакция)
             k
  2X + Y    −→
             3
               3X, (автокаталитическая 3-х молек. реакция) (1)
             k
        X −→
           4
             E.
Если обозначить через A(t), B(t), . . ., концентрации веществ A, B, . . .
как функции времени t, то реакции (1), согласно закону действующих
масс, описываются следующими дифференциальными уравнениями в
предположении, что B добавляется к смеси с постоянной скоростью
α:
                  A′ = −k1 A,
                  B ′ = −k2 BX + α,
                  D′ = k2 BX,
                                                                   (2)
                  E ′ = k4 X,
                  X ′ = k1 A−k2 BX + k3 X 2 Y − k4 X,
                  Y ′ = k2 BX − k3 X 2 Y .
Теперь упростим эту систему: исключим из рассмотрения уравнения
для D и E, так как они не влияют на остальные; предположим также,
что A поддерживается постоянным (A = 1) и возьмем все скорости
реакций ki равными единице. Далее, введем обозначения y1 = X,
y2 = Y , y3 = B и в результате получим систему:
                       y ′ 1 = 1 + y12 y2 − (y3 + 1)y1 ,
                       y ′ 2 = y1 y3 − y12 y2 ,                      (3)
                       y ′ 3 = −y1 y3 +α,
которая зависит лишь от одного параметра α. Уравнения (3) допол-
няются начальными условиями
             y1 (0) = 1,    y2 (0) = 1 + α,      y3 (0) = 1 + α.     (4)

Страницы