Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 43 стр.

Задание 8. Система типа хищник-жертва. Модель
                 Maк-Артура.


   1. Постановка задачи [1,2]. Рассмотрим динамику популя-
ции двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-
жертва, при наличии внутривидовой конкуренции жертв за ограни-
ченные ресурсы и при учете фактора насыщения хищника. Обозна-
чим через x = x(t) и y = y(t) плотности популяций жертв и хищников
в момент времени t. Уравнения имеют следующий вид:
                                          bxy
                   x′ = a(1 − x/K)x −         ,
                                       1 + Ax                  (1)
                                  d
                   y ′ = −cy +        xy,
                               1 + Ax
где a, b, c, d, A, K — неотрицательные числа. Структура уравнений
следующая
  • Слагаемое a(1−x/K)x определяет скорость размножения жертв
    в отсутствии хищников. При малых x скорость определяется ве-
    личиной a и, т.о., a характеризует норму рождаемости при малой
    плотности популяции. При большей плотности (до величины K)
    популяция растет, при x > K — уменьшается в размерах (ско-
    рость отрицательна). Т.о. это слагаемое описывает ограничен-
    ность ресурсов: окружающая среда может обеспечивать суще-
    ствование только популяции плотности меньшей K.
  • Слагаемое bxy/(1 + Ax) описывает влияние хищников на попу-
    ляцию жертв. Функция bx/(1 + Ax) характеризует количество
    жертв, убиваемых одним хищником в единицу времени (реакция
    хищника на плотность популяции жертвы). Здесь учтено, что
    при большой плотности жертв хищник убивает лишь b/A жертв
    единицу времени; т.е., перестает убивать, когда насыщается.
  • Второе уравнение определяет изменение популяции хищников.
    Постоянная определяется естественной нормой смертности хищ-