Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

44 Модель Maк-Артура.
ников. Второе слагаемое характеризует прирост хищников в за-
висимости от плотности жертв (функция dx/(1+Ax)). При боль-
шой плотности жертв скорость прироста хищников определяет-
ся величиной d/A и, т.о., d/A характеризует норму рождаемости
при благоприятных для хищников условиях.
2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные вели-
чины
X =
(
d
c
)
x, Y =
(
b
a
)
y, τ = at, α =
Ac
d
, ε =
c
Kd
, γ =
c
a
,
преобразуем уравнения (1) к виду
X
′
= (1 −εX)X −
XY
1 + αX
,
Y
′
= γ(
X
1 + αX
− 1)Y,
(2)
и дополним их начальными условиями
X(0) = X
0
, Y (0) = Y
0
. (3)
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ h/3k
1
),
k
3
= f(t
n
+ 2/3h, y
n
+ 2/3hk
2
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 3k
3
)/4.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
1
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
y
′
2
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
2
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
44                                                       Модель Maк-Артура.


     ников. Второе слагаемое характеризует прирост хищников в за-
     висимости от плотности жертв (функция dx/(1+Ax)). При боль-
     шой плотности жертв скорость прироста хищников определяет-
     ся величиной d/A и, т.о., d/A характеризует норму рождаемости
     при благоприятных для хищников условиях.
2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные вели-
чины
       ( )        ( )
        d          b                 Ac       c     c
   X=      x, Y =     y, τ = at, α =    , ε=    , γ= ,
        c          a                 d       Kd     a
преобразуем уравнения (1) к виду
                                        XY
                   X ′ = (1 − εX)X −         ,
                                      1 + αX                            (2)
                               X
                   Y ′ = γ(        − 1)Y,
                            1 + αX
и дополним их начальными условиями

                       X(0) = X0 ,     Y (0) = Y0 .                     (3)

                                  Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида

                y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,

на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                   k1 = f (tn , yn ),
                   k2 = f (tn + h/3, yn + h/3k1 ),
                   k3 = f (tn + 2/3h, yn + 2/3hk2 ),
                   yn+1 = yn + h(k1 + 3k3 )/4.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
             y1′ = − sin(t)/(1 + e2t )1/2 + y1 (y12 + y22 − 1),
             y2′ = cos(t)/(1 + e2t )1/2 + y2 (y12 + y22 − 1),

Страницы