Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задача о стабилизации экраноплана. 47
Введением новой неизвестной V
ϑ
= ϑ
′
, система (1) сводится к си-
стеме из пяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка.
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ h/3k
1
),
k
3
= f(t
n
+ 2/3h, y
n
+ 2/3hk
2
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 3k
3
)/4.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
1
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
y
′
2
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
2
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
y
1
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
, y
2
= sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
3
от шага h. Что следует из полу-
ченных графиков?
4. Решая систему уравнений движения экраноплана при помощи раз-
работанной программы, рассчитать зависимость высоты полета от
времени на интервале t ∈ (0, 20]. Результаты расчетов оформить в
виде графиков H = H(t). Параметры аппарата и другие исходные
данные (система единиц измерения — СИ):
P = 5000, S = 20, I
z
= 125000, a
m
= −1, l = 2,
g = 9.81, ρ = 1.25, a
α
= 5, a
H
= 2.05, a
V
= 0.005.
Начальные условия:
V (0) = 50, θ(0) = 0.1, ϑ(0) = 0.2, ϑ
′
(0) = 0, H(0) = 0.
Задача о стабилизации экраноплана.                                     47


   Введением новой неизвестной Vϑ = ϑ′ , система (1) сводится к си-
стеме из пяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка.
                                    Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                  y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                     k1 = f (tn , yn ),
                     k2 = f (tn + h/3, yn + h/3k1 ),
                     k3 = f (tn + 2/3h, yn + 2/3hk2 ),
                     yn+1 = yn + h(k1 + 3k3 )/4.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
              y1′ = − sin(t)/(1 + e2t )1/2 + y1 (y12 + y22 − 1),
              y2′ = cos(t)/(1 + e2t )1/2 + y2 (y12 + y22 − 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
           y1 = cos(t)/(1 + e2t )1/2 ,   y2 = sin(t)/(1 + e2t )1/2 .
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h3 от шага h. Что следует из полу-
ченных графиков?
4. Решая систему уравнений движения экраноплана при помощи раз-
работанной программы, рассчитать зависимость высоты полета от
времени на интервале t ∈ (0, 20]. Результаты расчетов оформить в
виде графиков H = H(t). Параметры аппарата и другие исходные
данные (система единиц измерения — СИ):
          P = 5000, S = 20, Iz = 125000, am = −1, l = 2,
         g = 9.81, ρ = 1.25, aα = 5, aH = 2.05, aV = 0.005.
Начальные условия:
       V (0) = 50, θ(0) = 0.1, ϑ(0) = 0.2, ϑ′ (0) = 0, H(0) = 0.

Страницы