Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 49 стр.

   Задание 10. Задача о форме лежащей капли.


    1. Постановка задачи [1]. Если поверхность раздела двух
сред искривлена, то вблизи нее давления в обеих средах различны.
Для определения этой разности давлений (называемой поверхност-
ным давлением) используется условие термодинамического равнове-
сия обеих сред друг с другом известное как уравнение Лапласа
                                  (       )
                                    1   1
                      p1 − p2 = σ     +     ,
                                    R1 R2
где σ — коэффициент поверхностного натяжения, R1 , R2 — главные
радиусы кривизны в данной точке поверхности. Используем это усло-
вие для определения формы капли несжимаемой жидкости объема V0 ,
лежащей на плоскости и находящейся в поле тяжести, предполагая
что вторая среда есть атмосфера, давление которой на протяжении
размеров капли постоянно. Введем цилиндрические координаты (r, z)
с началом в вершине капли Тогда p2 = const, p1 = const−ρgz, (ось Oz
направлена вверх). Таким образом, условие равновесия приобретает
вид:
            (       )        √
              1   1             σ
  −Z = α  2
                +     , α=        , Z=z − z0 , z0 = const > 0. (1)
              R1 R2            ρg
Предположим также, что капля образует с плоскостью угол ϕ0 . Учи-
тывая цилиндрическую симметрию капли, ее форму будем искать в
виде кривой вращения вокруг оси Oz, параметрический вид которой
(r(s), Z(s), ϕ(s)), где s — длина дуги, через ϕ(s) обозначен угол меж-
ду нормалью к кривой и осью Oz. Если учесть, что в этом случае
                      1    sin(ϕ)     1    dϕ
                         =        ,      =    ,
                      R1      r       R2   ds
то из (1) получим
                         dϕ    sin(ϕ)  Z
                            =−        − 2.                         (2)
                         ds       r    α