Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задача о форме лежащей капли. 51
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= y
1
/(2 + 2t) − 2ty
2
, y
′
2
= y
2
/(2 + 2t) + 2ty
1
,
на отрезке [0, 2] с точным решением (проверьте!)
y
1
= cos(t
2
)
√
1 + t, y
2
= sin(t
2
)
√
1 + t.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
2
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (2), (3) при помощи разработанной
программы. Для нескольких значений z
0
и ϕ
0
рассчитать форму ка-
пель. Привести их графики в координатах (r, Z) и графики функций
r(t), Z(t), ϕ(t) на отрезке интегрирования.
Замечание 1.1. 1. Обратите внимание на особенность при s = 0. При малых
s имеем r ≈ s, ϕ ≈ ks, Z ≈ −z
0
; из уравнения (2) получим k = z
0
/(2α
2
). Поэтому
sin(ϕ)/r → k при s → 0.
2. Интегрирование, очевидно, ведется до тех пор, пока функция ϕ(s) не станет равной
π − ϕ
0
.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 6. Гидро-
динамика. - М.: Наука, 1986.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
- М.: Наука, 1987.
Задача о форме лежащей капли.                                                   51


2. Тестировать программу на примере системы уравнений

            y1′ = y1 /(2 + 2t) − 2ty2 ,    y2′ = y2 /(2 + 2t) + 2ty1 ,

на отрезке [0, 2] с точным решением (проверьте!)
                             √                    √
                y1 = cos(t2 ) 1 + t, y2 = sin(t2 ) 1 + t.

3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h2 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (2), (3) при помощи разработанной
программы. Для нескольких значений z0 и ϕ0 рассчитать форму ка-
пель. Привести их графики в координатах (r, Z) и графики функций
r(t), Z(t), ϕ(t) на отрезке интегрирования.
     Замечание 1.1. 1. Обратите внимание на особенность при s = 0. При малых
s имеем r ≈ s, ϕ ≈ ks, Z ≈ −z0 ; из уравнения (2) получим k = z0 /(2α2 ). Поэтому
sin(ϕ)/r → k при s → 0.
2. Интегрирование, очевидно, ведется до тех пор, пока функция ϕ(s) не станет равной
π − ϕ0 .

                                 Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 6. Гидро-
динамика. - М.: Наука, 1986.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
- М.: Наука, 1987.

Страницы