Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Математическая модель роста опухоли 53
Здесь λ
1
характеризует уровень естественной смертности лимфоци-
тов, следующее слагаемое — их стимуляцию: когда L мало, стиму-
ляция свободных лимфоцитов возрастает линейно с ростом C
N
и что
существует максимальный размер популяции L
M
, при котором сти-
муляция обращается в нуль. Первое слагаемое во втором уравнении
описывает рост опухоли, не подвергающейся атакам лимфоцитов, а
второй член учитывает взаимодействие свободных лимфоцитов с опу-
холевыми клетками на поверхности опухоли. Подставляя в уравнения
значения C
N
и C
F
, можно переписать их в виде
x
′
=
(
−λ
1
+ β
1
y
2/3
(1 − x/c)/(1 + x)
)
x,
y
′
= λ
2
y −β
2
xy
2/3
/(1 + x),
(1)
где x = K
2
L, c = K
2
L
M
, y = K
1
C, а λ
1
, λ
2
, β
1
, β
2
— положительные
параметры. Так как x и y — размеры популяций, они должны быть
неотрицательными, а x не может превышать c, поскольку L ограни-
чено сверху величиной L
M
. Уравнения (1) дополняются начальными
условиями
x(0) = x0, y(0) = y0. (2)
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
1
),
k
3
= f(t
n
+ 3/4h, y
n
+ 3/4hk
2
),
y
n+1
= y
n
+ h(2k
1
+ 3k
2
+ 4k
3
)/9.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
1
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
y
′
2
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
2
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
y
1
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
, y
2
= sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
.
Математическая модель роста опухоли                                    53


Здесь λ1 характеризует уровень естественной смертности лимфоци-
тов, следующее слагаемое — их стимуляцию: когда L мало, стиму-
ляция свободных лимфоцитов возрастает линейно с ростом CN и что
существует максимальный размер популяции LM , при котором сти-
муляция обращается в нуль. Первое слагаемое во втором уравнении
описывает рост опухоли, не подвергающейся атакам лимфоцитов, а
второй член учитывает взаимодействие свободных лимфоцитов с опу-
холевыми клетками на поверхности опухоли. Подставляя в уравнения
значения CN и CF , можно переписать их в виде
                    (                              )
              x′ = −λ1 + β1 y 2/3 (1 − x/c)/(1 + x) x,
                                                              (1)
              y ′ = λ2 y − β2 xy 2/3 /(1 + x),
где x = K2 L, c = K2 LM , y = K1 C, а λ1 , λ2 , β1 , β2 — положительные
параметры. Так как x и y — размеры популяций, они должны быть
неотрицательными, а x не может превышать c, поскольку L ограни-
чено сверху величиной LM . Уравнения (1) дополняются начальными
условиями
                       x(0) = x0, y(0) = y0.                         (2)
                                    Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                  y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                   k1 = f (tn , yn ),
                   k2 = f (tn + h/2, yn + h/2k1 ),
                   k3 = f (tn + 3/4h, yn + 3/4hk2 ),
                   yn+1 = yn + h(2k1 + 3k2 + 4k3 )/9.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
              y1′ = − sin(t)/(1 + e2t )1/2 + y1 (y12 + y22 − 1),
              y2′ = cos(t)/(1 + e2t )1/2 + y2 (y12 + y22 − 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
           y1 = cos(t)/(1 + e2t )1/2 ,   y2 = sin(t)/(1 + e2t )1/2 .

Страницы