Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 55 стр.

     Задание 12. Система типа хищник-жертва.
            Модель Холлинга-Тернера.


    1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим динамику популяции
двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-
жертва, при наличии внутривидовой конкуренции жертв за ограни-
ченные ресурсы и учете фактора насыщения хищника. Обозначим
через x = x(t) и y = y(t) плотности популяций жертв и хищников в
момент времени t. Уравнения имеют следующий вид:
                                        wxy
                     x′ = r(1 − x/K)x −       ,
                                        D+x                    (1)
                                  y
                     y ′ = s(1 − J ) y,
                                  x
где r, s, w, K, D, J — неотрицательные числа. Структура уравнений
следующая
  • Слагаемое r(1 − x/K)x определяет скорость размножения жертв
    в отсутствии хищников. При малых x скорость определяется ве-
    личиной r и, таким образом, r характеризует норму рождаемости
    при малой плотности популяции. При большей плотности (до ве-
    личины K) популяция растет, при x > K — уменьшается в раз-
    мерах (скорость отрицательна). Таким образом, это слагаемое
    описывает ограниченность ресурсов: окружающая среда может
    обеспечивать существование только популяции плотности мень-
    шей K.
  • Слагаемое wxy/(D + x) описывает влияние хищников на попу-
    ляцию жертв. Функция wx/(D + x) характеризует количество
    жертв, убиваемых одним хищником в единицу времени (реакция
    хищника на плотность популяции жертвы). Здесь учтено, что
    при большой плотности жертв хищник убивает лишь w жертв
    единицу времени; т.е., перестает убивать, когда насыщается.
  • Второе уравнение определяет изменение популяции хищников.
    При большой плотности жертв и достаточно малой плотности