Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

56 Модель Холлинга-Тернера.
хищников (величина Jy/x — мала) скорость прироста хищников
определяется величиной s и, т.о., s характеризует норму рожда-
емости при благоприятных для хищников условиях. Величина
J определяется количеством жертв, необходимых для поддер-
жания жизни одного хищника. Поскольку популяция из x жертв
может поддерживать не более чем x/J хищников, то при y > x/J
численность хищников должна уменьшится. Модель, т.о., огра-
ничивает численность хищников критической величиной x/J.
2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные вели-
чины
X = x/K, Y =
(
J
K
)
y, τ = st, α =
w
Js
, β =
D
K
, γ =
r
s
,
преобразуем уравнения (1) к виду
X
′
= γ(1 − X)X −
αXY
β + X
,
Y
′
= (1 −
Y
X
)Y,
(2)
и дополним их начальными условиями
X(0) = X
0
, Y (0) = Y
0
. (3)
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
1
),
k
3
= f(t
n
+ 3/4h, y
n
+ 3/4hk
2
),
y
n+1
= y
n
+ h(2k
1
+ 3k
2
+ 4k
3
)/9.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
1
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
y
′
2
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
2
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
56                                                  Модель Холлинга-Тернера.


     хищников (величина Jy/x — мала) скорость прироста хищников
     определяется величиной s и, т.о., s характеризует норму рожда-
     емости при благоприятных для хищников условиях. Величина
     J определяется количеством жертв, необходимых для поддер-
     жания жизни одного хищника. Поскольку популяция из x жертв
     может поддерживать не более чем x/J хищников, то при y > x/J
     численность хищников должна уменьшится. Модель, т.о., огра-
     ничивает численность хищников критической величиной x/J.
2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные вели-
чины
                 ( )
                  J                 w      D       r
    X = x/K, Y =     y, τ = st, α =    , β= , γ= ,
                  K                 Js     K       s
     преобразуем уравнения (1) к виду
                                              αXY
                       X ′ = γ(1 − X)X −          ,
                                              β+X                        (2)
                         ′  Y
                   Y = (1 − )Y,
                            X
и дополним их начальными условиями
                        X(0) = X0 ,     Y (0) = Y0 .                     (3)

                                   Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                 y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                   k1 = f (tn , yn ),
                   k2 = f (tn + h/2, yn + h/2k1 ),
                   k3 = f (tn + 3/4h, yn + 3/4hk2 ),
                   yn+1 = yn + h(2k1 + 3k2 + 4k3 )/9.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
              y1′ = − sin(t)/(1 + e2t )1/2 + y1 (y12 + y22 − 1),
              y2′ = cos(t)/(1 + e2t )1/2 + y2 (y12 + y22 − 1),

Страницы