Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

50 Задача о форме лежащей капли.
r
Z
s
φ
z
Рис. 1. Параметризация поверхности лежащей капли.
Добавив уравнения
dr
ds
= cos(ϕ),
dZ
ds
= −sin(ϕ), (3)
для определения формы капли получим систему из трех уравнений
(2), (3), которые дополним начальными условиями
r(0) = 0, Z(0) = −z
0
, ϕ(0) = ϕ
0
. (4)
Из вида уравнений (2), (3) следует, что форма поверхности жидко-
сти определяется постоянной α, называемой капиллярной постоян-
ной. Она имеет размерность длины. Для воды α = 0.39 см. (при
20
◦
C). Величина z
0
определяется из условия, что капля имеет задан-
ный объем V
0
.
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
1
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ k
2
)/2.
50                                              Задача о форме лежащей капли.




                                            z
                           s                    φ

              Z




                                        r
            Рис. 1. Параметризация поверхности лежащей капли.
Добавив уравнения
                    dr           dZ
                       = cos(ϕ),     = − sin(ϕ),           (3)
                    ds            ds
для определения формы капли получим систему из трех уравнений
(2), (3), которые дополним начальными условиями
                  r(0) = 0, Z(0) = −z0 , ϕ(0) = ϕ0 .                      (4)
Из вида уравнений (2), (3) следует, что форма поверхности жидко-
сти определяется постоянной α, называемой капиллярной постоян-
ной. Она имеет размерность длины. Для воды α = 0.39 см. (при
20◦ C). Величина z0 определяется из условия, что капля имеет задан-
ный объем V0 .
                                    Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                  y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                        k1 = f (tn , yn ),
                        k2 = f (tn + h, yn + hk1 ),
                        yn+1 = yn + h(k1 + k2 )/2.

Страницы