Комплекс лабораторных работ по курсу "Моделирование систем". Давыдов Р.В - 6 стр.

                                                                           ^              ^
нивающую невязку ε - степень отклонения у( х ) от y ( х , b ), ε = у ( х ) - y ( х , b ).
Эти отклонения указаны на рис.3 применительно к случаю, когда объект имеет
одну входную координату. В методе наименьших квадратов, используется квад-
рат невязки:
                                                                       ∧
                                        F (ε) = ε 2 = [ y ( x) − y ( x, b)]2
                           ^
      Вид зависимости y ( х , b ) задается. В общем виде зависимость можно
представить в виде:
                                    ∧
                                    y = f ( x1 , x2 ,..., xm , b0 , b1 ,..., b p ),           (1)
      где ( b0 , b1 ,..., bp ) - вектор параметров модели (коэффициенты).
      Задача состоит в том, чтобы по опытным данным наилучшим образом опре-
делить значения параметров b .
     В этом случае метод наименьших квадратов сводится к следующему. Наи-
лучшими будут те значения параметров b , при которых сумма квадратов откло-
                                ^
нений расчетных величин y ( х , b ) от опытных у ( х ) окажется наименьшей.
     Учитывая, что при нахождении параметров количество экспериментов n по-
стоянно, степень близости модели и объекта будет оцениваться величиной:
                                                                               ∧      2
                                           n          n
                               S (b) = ∑ ε = ∑ [ y j ( x j ) − y j ( x j , b]
                                                 2
                                                 j                                            (2)
                                          j =1        j =1


     Таким образом, в методе наименьших квадратов параметры находятся из
условия:
                                     S(b ) → min,
      т.е. являются решением задачи минимизации суммы квадратов невязки
(этим и объясняется название метода).
      Покажем, как решается эта задача.
      Пусть функция задана в общем виде (I). Структуру модели, входящие в нее
входные координаты или функции от них, можно затем уточнить. Запишем усло-
вия всех опытов в виде таблицы матрицы плана эксперимента:




                                                          6