Комплекс лабораторных работ по курсу "Моделирование систем". Давыдов Р.В - 8 стр.

                                                 ⎛ х01 , х11 ,..., х P1 ⎞
                                                 ⎜                      ⎟
                                                 ⎜ х    , х  ,..., х P2 ⎟
                                             х = ⎜ 02 12                                                (8)
                                                   ................... ⎟
                                                 ⎜                      ⎟
                                                 ⎜ х , х ,..., х ⎟
                                                 ⎝ 0 n 1n            Pn ⎠


     Квадрат разности для 3-го опыта запишется так:
                                         ∧
                            ( y j − y j ) 2 = ( y j − b0 x0 j − b1 x1 j − ... − bP x Pj ) 2             (9)
     Подставляя зависимость (9) в выражение (6), получим:
                                  n
                      S (b) = ∑ [ y j − b0 x0 j − b1 x1 j − ... − bP x Pj ]2 → min                     (10)
                                  j =1


     Необходимым условием минимума функции S ( b ) является равенство нулю
ее частных производных по искомым параметрам (поскольку функция S ( b ) явля-
ется квадратической, то эти условия выделяют единственную точку минимума).
                                    ∂S       ∂S                             ∂S
                                        = 0,     = 0,                 ,         =0
                                    ∂b0      ∂b1                            ∂bP
     или
                       ⎧2 n ( y − b x − b x − ... − b x )(− х ) = 0
                       ⎪ ∑  j =1
                                   j      0 0j        1 1j             P Pj          0j

                       ⎪ n
                       ⎪⎪2∑ ( y j − b0 x0 j − b1 x1 j − ... − bP x Pj )(− х1 j ) = 0
                        ⎨ j =1
                        ⎪....................................................................
                        ⎪ n
                        ⎪2∑ ( y − b x − b x − ... − b x )(− х ) = 0
                        ⎪⎩ j =1 j         0 0j        1 1j             P Pj          Pj



     Запишем эту систему в виде, удобном для анализа,
                    ⎧b n x 2 + b n x x + ... + b n x x = n x y
                    ⎪ 0∑  j =1
                                0J      1∑ 0 j 1j
                                          j =1
                                                                   P ∑ 0 j Pj
                                                                      j =1
                                                                                      ∑ j =1
                                                                                              0j   j

                    ⎪ n                         n                     n                n
                    ⎪⎪b0 ∑ x0 j x1 j + b1 ∑ x12j + ... + bP ∑ x1 j x Pj = ∑ x1 j y j
                     ⎨ j =1                    j =1                  j =1             j =1             (11)
                     ⎪............................................................................
                     ⎪ n                         n                          n           n
                     ⎪b ∑ x x + b ∑ x x + ... + b ∑ x 2 = ∑ x y
                     ⎪⎩ 0 j =1 0 j Pj        1
                                               j =1
                                                    1 j Pj              P
                                                                           j =1
                                                                                Pj
                                                                                      j =1
                                                                                             Pj  j



     Полученная система линейных алгебраических уравнений содержит столько
уравнений, сколько в нее входит неизвестных параметров Б. В теории метода сис-
тему (11) принято называть системой нормальных уравнений.


                                                        8