Комплекс лабораторных работ по курсу "Моделирование систем". Давыдов Р.В - 9 стр.

      Система нормальных уравнений может быть решена, например, по правилу
Крамера, согласно которому b1 = Δ1 / Δ , где Δ - определитель матрицы системы
нормальных уравнений:
                                          n                   n                       n

                                       ∑x j =1
                                                   2
                                                   0j         ∑x
                                                              j =1
                                                                          0 j x1 j    ∑x
                                                                                      j =1
                                                                                                 0j   x Pj
                                      n                               n                 n
                             Δ=      ∑x
                                     j =1
                                                    x
                                                 0 j 1j         ∑x j =1
                                                                               2
                                                                               1j     ∑x
                                                                                      j =1
                                                                                                 1j
                                                                                                      x Pj ,
                                      n                        n                          n

                                     ∑ x0 j x Pj
                                     j =1
                                                              ∑x
                                                              j =1
                                                                          1j   x Pj     ∑xj =1
                                                                                                      2
                                                                                                      Pj



      a Δ 1 получается из Δ путем замены 1-го столбца на столбец
                                                                  n

                                                              ∑x
                                                               j =1
                                                                           0j   yj
                                                                  n


                                                    Δ1 =
                                                              ∑x
                                                               j =1
                                                                           1j
                                                                                yj

                                                              ..............
                                                                  n

                                                              ∑x
                                                               j =1
                                                                           Рj   yj

      Решение может быть сравнительно точно найдено, если матрица системы
нормальных уравнений не является плохо обусловленной, т.е. определитель Δ
существенно отличается от нуля. В противном случае, при вычислении b1 , Δ1 будет
делиться на величину, близкую к нулю. В этом случае необходимо либо менять
структуру модели, либо менять выборку экспериментальных данных.
      Пример: Расчет коэффициентов методом наименьших квадратов.
      По опытным данным построить зависимость плотности жидкости от темпе-
ратуры в виде параболы 2-й степени.
                        Т, К                            273               283         293                  303
                         ρ , кг/м3                . 875                   871         868                  867
      Для уменьшения расчетов удобно преобразовать переменные так, чтобы
они выражались малым числом цифр. Так вместо Т можно использовать величину
х = (Т - 288) / 5, а вместо ρ у = ρ - 870
      Тогда зависимость получит вид:
                                              у = b0 + b1х + b2х2.
      Представим опытные данные х и у



                                                          9