Линейная алгебра и линейное программирование: Решение типовых задач. Деева Е.М. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
Вектор В называется линейной комбинацией векторов
А
1
, А
2
,…, А
n
,
если
существуют такие числа
,,...,
2
,
1 n
λλλ
при которых выполняется соотношение
В
....
2211 n
A
n
AA
λλλ
+++=
Система векторов
r
AAA ,...,
2
,
1
(r ≥ 2) называется
линейно-зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной
комбинацией остальных, и линейно-независимой – в противном случае. Можно
сформулировать следующие равносильные сказанному определения.
Система векторов
r
AAA ,...,
2
,
1
– линейно-зависимая, если существуют та-
кие числа
r
λλλ
,...,
2
,
1
, не все равные нулю, при которых имеет место равенст-
во
.0...
2211
=+++
r
A
r
AA
λλλ
Если последнее соотношение возможно лишь в случае, когда все
),1(0 rj
j
==
λ
, то система векторов называется линейно-независимой. Напри-
мер, система векторов А
1
=(2, 4, 3), А
2
= (2, 3, 1), А
3
= (5, 3, 2), А
4
= (1,
7, 3) линейно-зависима: А
1
+ 2А
2
– А
3
– А
4
= 0.
Рангом системы векторов
),
1
,...,
12
,
11
(
1 n
aaaA =
),
2
,...,
22
,
21
(
2 n
aaaA =
………………………..
mn
a
m
a
m
a
m
A ,...,
2
,
1
(=
)
называется максимальное число линейно-независимых векторов этой сис-
темы. Ранг системы векторов равен рангу матрицы А, составленной из компо-
нент векторов этой системы, т. е. наивысшему порядку минора матрицы А,
отличного от нуля.
Пример 4. Определить, является ли система векторов А
1
= (5, 4, 3, 2),
А
2
= (3, 3, 2, 2), А
3
= (8, 1, 3, – 4) линейно-зависимой; если она линейно-
зависима, то найти ее максимальную линейно-независимую подсистему.
Решение. Составим матрицу из компонент векторов и найдем ее ранг.
Имеем
.
4318
2233
2345
−
=A
Минор второго порядка .03
33
45
≠=
Рассмотрим два минора третьего порядка, которые его окаймляют:

Страницы