Линейная алгебра и линейное программирование: Решение типовых задач. Деева Е.М. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

17
Рис. 1.1
Определение. Функция
f (
X
)
, заданная на выпуклом множестве
n
EX ⊂ ,
называется выпуклой, если для любых двух точек х
1
и х
2
из Х и любого числа
10 ≤≤
λ
выполняется соотношение
[]
).
1
()1()
2
(
1
)1(
2
xfxfxxf
λλλλ
−+≤−+
Определение. Функция f (
X
), заданная на выпуклом множестве
X
, назы-
вается вогнутой, если для любых двух точек х
1
и х
2
из Х и любого числа
10 ≤≤
λ
выполняется соотношение
[]
).
1
()1()
2
(
1
)1(
2
xfxfxxf
λλλλ
−+≥−+
Если приведенные неравенства считать строгими и они выполняются при
10 <<
λ
, то функция f (
X
) – строго выпуклая (вогнутая).
Можно показать, что если
f (
X
)
– выпуклая функция, то функция
f (
X
)
–
вогнутая, и наоборот.
На рис. 1.2, а функция f (
X
) – выпуклая, на рис.1.2, б – вогнутая.
Рис. 1.2
Справедливы следующие утверждения относительно выпуклых множеств и
функций.
1. Пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество.
2. Сумма вогнутых (выпуклых) функций есть вогнутая (выпуклая) функция.
3. Если f ( X ) выпуклая функция при
0≥X
, то множество всех точек, удов-
летворяющих условиям
bXf ≤)(
,
0≥X
, выпукло (если оно не пустое; b - по-
стоянная).
4. Пусть f ( X ) – выпуклая (вогнутая) функция, заданная на замкнутом вы-
пуклом множестве
n
EX ⊂ , тогда любой локальный минимум (максимум) f
( X ) на Х является и глобальным.

Страницы