ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
Приведем необходимое и достаточное условие выпуклости функции
многих переменных. Пусть функция f (
),...,,(
21 n
xxxX =
) имеет все частные
производные второго порядка, образующие матрицу
.
2
2
...
2
2
1
2
......
2
2
...
2
2
2
21
2
1
2
...
21
2
2
1
2
)(
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
n
x
f
x
n
x
f
x
n
x
f
n
xx
f
x
f
xx
f
n
xx
f
xx
f
x
f
XQ
Эта функция является выпуклой в области Х тогда и только тогда,
когда матрица Q для любой точки из этой области является неотрицательно
(положительно) определенной. Напомним, что квадратная матрица
nnji
qQ
×
= )
,
(
называется неотрицательно (положительно) определенной, ес-
ли все определители
,
21
22221
11211
,,
2221
1211
2
,
111
nn
q
n
q
n
q
n
qqq
n
qqq
n
qq
qq
q
L
L
L
K
⋅⋅⋅⋅
=∆=∆=∆
т. е. все главные миноры матрицы Q неотрицательны (положитель-
ны).
Пример 5. Показать, что функция
()
6
2
3
1
2 −+= xxXf является выпуклой
при
x
1
≥ 0.
Составим матрицу из частных производных второго порядка для
() ()
.
00
0
1
12
:
=
x
XQXf
Найдем определители
∆
1
= 12х
1
, ∆
2
= 0.
Так как при
∆
1
≥ 0, ∆
2
= 0
при
x
1
≥ 0,
то функция является выпуклой.
Дадим определение глобального и локального максимумов. Функция
(
)
xf
достигает на замкнутом (т. е. включающем свою границу) множестве X гло-
бальный максимум в точке
*
x
, если для любой точки, принадлежащей
Х( Xx ∈
), выполняется условие
()
≤
*
xfxf .
Функция
(
)
xf
достигает на замкнутом множестве
X
локального максимума
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
