ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
Справедливы следующие утверждения относительно выпуклых множеств и
функций.
1. Пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество.
2. Сумма вогнутых (выпуклых) функций есть вогнутая (выпуклая) функция.
3. Если f ( X ) выпуклая функция при
0≥X
, то множество всех точек,
удовлетворяющих условиям
bXf ≤)(
,
0≥X
, выпукло (если оно не
пустое; b - постоянная).
4. Пусть f ( X ) – выпуклая (вогнутая) функция, заданная на замкнутом
выпуклом множестве
n
EX ⊂ , тогда любой локальный минимум
(максимум) f ( X ) на Х является и глобальным.
Приведем необходимое и достаточное условие выпуклости функции многих
переменных. Пусть функция f (
),...,,(
21 n
xxxX =
) имеет все частные
производные второго порядка, образующие матрицу
.
2
2
...
2
2
1
2
......
2
2
...
2
2
2
21
2
1
2
...
21
2
2
1
2
)(
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
n
x
f
x
n
x
f
x
n
x
f
n
xx
f
x
f
xx
f
n
xx
f
xx
f
x
f
XQ
Эта функция является выпуклой в области Х тогда и только тогда, когда
матрица Q для любой точки из этой области является неотрицательно
(положительно) определенной. Напомним, что квадратная матрица
nnji
qQ
×
= )
,
(
называется неотрицательно (положительно) определенной,
если все определители
,
21
22221
11211
,,
2221
1211
2
,
111
nn
q
n
q
n
q
n
qqq
n
qqq
n
qq
qq
q
L
L
L
K
⋅⋅⋅⋅
=∆=∆=∆
т. е. все главные миноры матрицы Q неотрицательны
(положительны).
Пример 5. Показать, что функция
()
6
2
3
1
2 −+= xxXf является выпуклой
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
