Механика: основы расчетов на статистическую прочность элементов конструкций. Демин О.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.3. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ
Осевым
(
или экваториальным
)
моментом инерции сечения
относительно некоторой оси называется
взятая по всей его площади
F
сумма произведений элементарных площадок
dF
на квадраты их расстоя-
ний от этой оси, т.е.
∫
=
F
y
dFxI
2
;
∫
=
F
x
dFyI
2
. (2.7)
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая
по всей его площади
F
сумма произведений элементарных площадок
dF
на квадраты их расстояний от
этой точки, т.е.
∫
ρ=
F
p
dFI
2
. (2.8)
Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикуляр-
ных осей называется взятая по всей его площади
F
сумма произведений элементарных площадок
dF
на
их расстояния от этих осей, т.е.
∫
=
F
yx
yxdFI
. (2.9)
Моменты инерции выражаются в см
4
, м
4
и т.д. Осевые и полярные моменты инерции всегда поло-
жительны, так как в их выражения под знаки интегралов входят величины площадок
dF
(всегда поло-
жительные) и квадраты расстояний этих площадок от данной оси или полюса.
На рисунке 2.3 изображено сечение площадью
F
и показаны оси
y
и
x
. Осевые моменты инерции
этого сечения относительно осей
y
и
x
:
∫
=
F
y
dFxJ
2
;
∫
=
F
x
dFyJ
2
.
Сумма этих моментов инерции
(
)
dFxydFydFxJJ
FFF
xy
⋅+=+=+
∫∫∫
2222
.
Но
222
ρ=+
xy
, следовательно,
ρ
=ρ=+
∫
JdFJJ
F
xy
2
,
т.е.
ρ
=+
JJJ
xy
.
Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей рав-
на полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения указанных осей.
Центробежные моменты инерции могут быть положительными или равными нулю. Центробежный
момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симмет-
рии, равен нулю. Осевой момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме
осевых моментов инерции составляющих его частей относительно этой же оси. Аналогично, центро-
бежный момент инерции сложного сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей
равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих же осей.
Также и полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме по-
лярных моментов инерции составляющих его частей относительно той же точки. Следует иметь в виду,
что нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.
y
y
x
ρ
x
dF
F
Рис. 2.3. Сечение
площадью
F

Страницы