Составители:
Рубрика:
Если a, b
1
, b
2
∈ K, причем a отлично от нуля и не является левым
делителем нуля, то из равенства ab
1
= ab
2
следует b
1
= b
2
, т.е. на
отличный от нуля элемент, не являющийся левым делителем нуля,
можно сокращать слева. Аналогично на отличный от нуля элемент,
не являющийся правым делителем нуля, можно сокращать справа.
Заметим, однако, что на элемент являющийся делителем нуля,
вообще говоря, сокращать нельзя.
Пример.
7) В кольце всех квадратных матриц 2-го порядка для матриц
A =
1 0
0 0
, B
1
=
1 2
3 7
, B
2
=
1 2
4 0
справедливо равенство
AB
1
= AB
2
,
хотя B
1
6= B
2
. Здесь матрица A является левым делителем нуля.
Элемент e кольца K называется единицей этого кольца, если для
любого элемента a ∈ K верны равенства
ae = ea = a.
Единицы в кольце может не быть.
Если в кольце K единица есть, то K называется кольцом с еди-
ницей.
Примеры.
8) Кольцо всех целых чисел – это кольцо с единицей.
9) Кольцо всех четных чисел – кольцо без единицы.
В кольце с единицей e для взятого элемента a 6= 0 этого кольца
может существовать элемент b такой, что
ab = ba = e.
Тогда b называют обратным к a и пишут
b = a
−1
.
Заметим, что обратного элемента может не быть.
Элементы кольца с единицей, для которых обратный элемент
существует, называются делителями единицы.
Пример.
102
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
