Составители:
Рубрика:
10.3. Алгебраические функции общего вида
Если α – корень многочлена p(α), то многое зависит от того,
является ли многочлен p(α) неприводимым (т.е. неразложимым).
Речь идёт об однозначности (каноничности) представления
P
n
i=0
a
i
α
i
.
Если a
i
– рациональные числа, а n ≤ deg p и p(α) – неприводимый,
то упомянутую сумму можно считать каноническим представлени-
ем (если p(α) – приводимый, то нет даже нормальности).
В случае, когда появляется несколько корней, то проблема услож-
няется. Например, если α и β корни многочленов p(α) и q(β), то
нужно проверить, являются ли они совместно неприводимыми. Нетри-
виальность вопроса демонстрирует следующий пример.
Пусть α – корень многочлена p(α) = α
5
− α − 1, β – корень
многочлена q(β) = β
5
+5β
4
+10β
3
+10β
2
+4β −1, который получен
из p(α) подстановкой α = β + 1. Ясно, что β = α −1 – корень q(β)
и потому q(β) = (β − α + 1)(β
4
+ β
3
(α + 4) + β
2
(α
2
+ 3α + 6) +
β(α
3
+ 2α
2
+ 3α + 4) + α
4
+ α
3
+ α
@
+ α), так что p(α) и q(β) в этом
примере не являются совместно неприводимыми.
Для проверки того, что система корней α
i
полиномов p
i
допу-
стима (в смысле однозначности представления полиномами с раци-
ональными коэффициентами) следует разложить p
1
на множители
как полином с целыми коэффициентами, затем разложить p
2
как
полином с коэффициентами из K[α
1
], затем p
3
– как полином с ко-
эффициентами из K [α
1
, α
2
] и т.д. Процесс этот может быть очень
трудоёмким, так что в реальных системах он не проводится.
10.4. Примитивные элементы
Всегда в поле нулевой характеристики (в расширении кольца
целых чисел) можно вернуться к работе в терминах единственного
алгебраического числа – примитивного элемента поля.
Например, если α – корень многочлена
α
4
− 10α
2
+ 1,
т.е. α =
√
2 +
√
3, то
√
2 = (α
3
− 9α)/2 и
√
3 = (11α − α
3
)/2; итак
α – примитивный элемент поля Q[
√
2,
√
3].
Однако, примитивные элементы могут быть весьма сложными.
Например, примитивный элемент, соответствующий корням α и β
полинома
x
4
+ 2x
3
+ 5
55
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
