Составители:
Рубрика:
Теорема 1 (Risch, 1979). Пусть K – поле констант и
пусть функции Θ
1
, . . . , Θ
n
являются алгебраическими, экспонен-
циальными (Θ
i
= u
i
= exp v
i
) или логарифмическими (Θ
i
= v
i
=
log u
i
) функциями, причём каждая функция Θ
i
определена над
K(x, Θ
1
, . . . , Θ
i−1
) и пусть подполе констант поля K(x, Θ
1
, . . . , Θ
n
)
совпадает с K. При этих условиях
(а) функция Θ
i
= u
i
= exp v
i
трансцендентна над K(x, Θ
1
, . . . , Θ
i−1
)
тогда и только тогда , когда v
i
не может быть представленна
в виде
c +
i−1
X
j=1
n
j
v
j
, (11.11)
где с принадлежит K, а n
j
– рациональные числа,
(b) функция Θ
i
= v
i
= log u
i
трансцендентна над K(x, Θ
1
, . . . , Θ
i−1
)
тогда и только тогда, когда ник акая степень u
n
i
элемента u
i
не
может быть представлена в виде
c
i−1
Y
j=1
u
n
j
j
, (11.12)
где c ∈ K, а n, n
j
– целые числа, n 6= 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о приводить не будем.
Теорема 1
0
(переформулировка теоремы 1). Справедливы сле-
дующие утверждения:
(а) Экспоненциальная функция не зависит от экспонент и ло-
гарифмов, которые уже введены, тогда и только когда, когда её
аргумент не может быть представлен в виде линейной комбина-
ции с рациональными коэффициентами логарифмов и аргументов
экспонент введённых ранее; наличие такой линейной комбинации
означает, что новая экспонента является произведением степе-
ней введённых ранее экспонент и аргументов логарифмов.
(b) Логарифмическая функция не зависит от экспонент и ло-
гарифмов, которые уже введены, тогда и только тогда, когда
её аргумент не может быть представлен в виде произведения
экспонент с рациональными коэффициентами и аргументов ло-
гарифмов, введённых ранее. Наличие такого произведения означа-
ет,что новй логарифм – линейная комбинация с рациональными
коэффициентами логарифмов и аргументов экспонент, введённых
ранее.
58
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
