Составители:
Рубрика:
g
5
= z
2
(y − 1), (3.12)
g
6
= z
2
(x
2
− z) (3.13)
ясно, что g
1
= xz(x
2
y −z) = zg
4
. С другой стороны, одновременное
обращение в нуль полиномов стандартного базиса
g
2
= 0, g
3
= 0, g
4
= 0, g
5
= 0, g
6
= 0 (3.14)
возможно либо в случае z = 0 и тогда должно быть xy = 0, либо
в случае z 6= 0, и тогда y = 1, x
2
− z = 0. Итак, множество N
нулей системы (3.14) имеет вид
N = {(x, y, z)|(xy = 0
^
z = 0)
_
(x
2
− z = 0
^
y = 1), (3.15)
т.е. это множество состоит из двух прямых x = 0, y = 0 плос-
кости (x, y) и параболы z = x
2
в плоскости y = 1, парллельной
координатной плоскости (x, z).
Сформулируем несколько утверждений не приводя их доказа-
тельства.
Теорема 1. Любой идеал обладает стандартным базисом.
Определение 6. Редуцированным базисом называется базис,
каждый полином которого редуцирован относительно всех осталь-
ных.
Пример. Базисы {x − 1, (x − 1)
2
} и {x − 1} отличаются тем,
что первый из них не редуцирован: после редукции первый из них
превращается во второй.
Теорема 2. Два идеала равны тогда и только тогда, когда
они имеют один и тот же редуцированный стандартный базис.
Замечание 1. Эта теорема даёт каноническое представление иде-
алов.
Теорема 3. Система полиномиальных уравнений несовмест-
на тогда и только тогда, когда соответствующий стандартный
базис содержит константу.
4. Решение системы полиномиальных уравнений
В том случае, когда интересно знать, конечно ли число решений
системы полиномиальных уравнений, полезно следующее утвержде-
ние.
Теорема 4. Если каждая переменная появляется изолирован-
но в одном из старших членов стандартного базиса, то система
72
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
