Составители:
Рубрика:
полиномиальных уравнений в комплексной плоскости C имеет не
более конечного числа решений (т.е. если имеет решения, то их
конечное число, однако может не иметь ни одного решения).
Рассмотрим набросок доказательства. Можно определить все ре-
шения следующим способом. Пусть имеющиеся переменные x
1
, x
2
, . . . , x
n
упорядочены:
x
1
> x
2
> . . . > x
n
.
По условию переменная x
n
появляется в старшем члене одного из
базисных многочленов. Поскольку остальные x
j
– старше, они не
могут содержаться в этом базисном многочлене, значит в нём могут
содержаться лишь x
n
в различных степенях и числовые коэффи-
циенты.
Если степень рассматриваемого многолена k, то в результате по-
лучим не более чем k различных корней в C.
Теперь отыщем тот многочлен стандартного базиса, в котором
появляется изолировано x
n−1
в его старшем члене. Остальные чле-
ны могут содержать разве лишь x
n−1
и x
n
. Подставляя сюда упомя-
нутые выше значения x
n
, при каждом x
n
найдём не более k
1
корней
x
n−1
рассматриваемого многочлена, где k
1
его степень по перемен-
ной x
n−1
. Итак, общее число допустимых значений пары (x
n−1
, x
n
)
не более k
1
k. Продолжая таким образом далее, придём к заверше-
нию доказательства теоремы 4.
Замечание 2. Нетрудно построить примеры, показывающие, что
невозможно полностью отбросить предположение об изолирован-
ности. Действительно, если x > y и идеал порождён полиномами
{(y − 1)x + (y −1), y
2
− 1}, (4.1)
образующими стандартный базис (проверка этого здесь не прово-
дится), то условия теоремы 4 не выполнены, поскольку x не появ-
ляется изолированно.
Множество N решений системы
(y − 1)x + y −1 = 0
y
2
− 1 = 0
(4.2)
состоит из множеств {y = 1, x– произвольно} и {y = −1, x = −1}.
Итак, здесь N – бесконечно.
73
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
