Составители:
Рубрика:
2) Старшие члены полиномов
h
e
f
f и
h
e
g
g равны (они равны стар-
шему члену полинома h) и потому в (5.2) они сокращаются.
3) Справедливы очевидные соотношения
S(f, f) = 0, S(f, g) = −S(g, f). (5.3)
Теорема 5. Базис g является стандартным тогда и только
тогда, когда для любой пары полиномов f и g из множества g их
S-полином S(f, g) редуцируется к нулю относительно g.
Эта теорема не только позволяет проверить, является ли базис
стандартным, но даёт путь к построению стандартного базиса. Дей-
ствительно, если при проверке оказывается, что для некоторой па-
ры полиномов f, g стандартного базиса S(f, g) 6= 0, то полином
S(f, g) присоединяют к g. Это приводит к увеличению числа S-
полиномов, равенство нулю которых нужно проверять. Продолже-
ние этой процедуры приведёт к дальнейшему расширению множе-
ства g.
Проиллюстрируем процесс построения стандартного базиса на
примере, считая, что x > y > z и
g = {g
1
, g
2
, g
3
}, (5.4)
где
g
1
= x
3
yz −xz
2
, (5.5)
g
2
= xy
2
z −xyz, (5.6)
g
3
= x
2
y
2
− z. (5.7)
Обозначая волной старшие члены полиномов имеем
e
g
2
= xy
2
z,
e
g
3
= x
2
y
2
(5.8)
и потому
h
23
def
=
НОК(
e
g
2
,
e
g
3
) = x
2
y
2
z, (5.9)
а значит согласно формуле
S(g
2
, g
3
) =
h
23
e
g
2
g
2
−
h
2
3
e
g
3
g
3
= xg
2
− zg
3
,
75
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
