Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Элементарным преобразованием показателя и подстановкой z =
√
a(x−
y
2a
) последовательно получим
F (y) =
Z
e
−a(x−
y
2a
)
2
+
y
2
4a
dx =
1
√
a
e
y
2
4a
Z
e
−z
2
dz.
Приняв во внимание, что (см., например, [19, с. 132])
Z
e
−z
2
dz =
√
π, (1.2
∗
)
и что F (y) — аналитическая функция, при y = iξ найдем bg
a
(ξ) =
F (iξ) =
p
π
a
e
−
ξ
2
4a
. Формула (1.1
∗
) доказана.
Лемма 1. Если ϕ ∈ L
1
и a, b ∈ R
1
, a 6= 0, то
F
ϕ(ax + b)
(ξ) =
1
a
e
i
b
a
ξ
bϕ
ξ
a
. (1.4)
Доказательство. В интеграле
F
ϕ(ax + b)
(ξ) =
Z
ϕ(ax + b)e
−ixξ
dx
сделаем подстановку x
0
= ax + b; тогда получим
F
ϕ(ax + b)
(ξ) =
1
a
e
i
b
a
ξ
Z
ϕ(x
0
)e
−ix
0
ξ
a
dx =
=
1
a
e
i
b
a
ξ
bϕ
ξ
a
,
что и требовалось доказать.
§ 2. Свертка функций
Определение 2. Сверткой функций ϕ, θ ∈ L
1
называется
функция, получаемая по формуле
f(x)
def
=
Z
ϕ(y)θ(x − y) dy. (2.1)
9

Страницы