Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

=
Z
e
−iyξ
Z
ϕ(x)θ(y − x) dx dy. (2.3)
Из соотношения (2.3) после перестановки порядка интегрирова-
ния (по теореме Фубини) и подстановки y
0
= y − x получим
F
ϕ ∗ θ
(ξ) =
Z
ϕ(x) dx
Z
e
−iy ξ
θ(y − x) dy =
=
Z
ϕ(x) dx
Z
e
−i(y
0
+x)ξ
θ(y
0
) dy
0
=
=
Z
e
−ixξ
ϕ(x) dx
Z
e
−iy
0
ξ
θ(y
0
) dy
0
= bϕ(ξ) ·
b
θ(ξ);
формула доказана.
Рассмотрим функцию
Γ
ε
(x)
def
=
1
2
√
πε
e
−
x
2
4ε
, ε > 0, (2.1
∗
)
называемую усредняющим ядром.
Лемма 3
∗
. Функция Γ
ε
лежит в пространстве L
1
, а ее преоб-
разование Фурье имеет вид
b
Γ
ε
(ξ) = e
−εξ
2
. (2.2
∗
)
Доказательство. Заметим, что функция Γ
ε
с точностью до мно-
жителя
1
2
√
πε
совпадает с обобщенной функцией Гаусса g
a
при a =
1
4ε
,
Γ
ε
(x) =
1
2
√
πε
g
1
4ε
(x),
и потому Γ
ε
∈ L
1
. Применив преобразование Фурье к обеим частям
только что написанного соотношения и пользуясь формулой (1. 1
∗
),
найдем
b
Γ
ε
(ξ) =
1
2
√
πε
cg
1
4ε
(ξ) = e
−εξ
2
,
что и требовалось.
11

Страницы