Составители:
Следствие 2
∗
. Справедлива формула
Z
Γ
ε
(x) dx = 1.
Доказательство легко следует из формулы (2.2
∗
) при ξ = 0.
Теорема 3
∗
. Если функция f лежит в пространстве L
1
, то
в каждой точке x непрерывности функции f(x) справедливо соотно-
шение
lim
ε→+0
(Γ
ε
∗ f)(x) = f(x). (2.3
∗
)
Доказательство. Пусть x — точка непрерывности функции f(x).
По произвольному η > 0 найдем δ = δ(η) так, что |f(x −y) −f(x)| < η
при |y| < δ. Ввиду следствия 2
∗
имеем
(Γ
ε
∗ f)(x) − f(x) =
Z
Γ
ε
(y)
f(x − y ) − f (x)
dy =
=
Z
δ
−δ
Γ
ε
(y)
f(x − y ) − f (x)
dy +
Z
|y|>δ
Γ
ε
(y)
f(x − y ) − f (x)
dy,
и потому
|(Γ
ε
∗ f)(x) − f(x)| ≤ η
Z
δ
−δ
Γ
ε
(y) dy + max
|y|>δ
Γ
ε
(y)
Z
|f(y)| dy+
+|f(x)|
Z
|y|>δ
Γ
ε
(y) dy. (2.4
∗
)
Используя следствие 2
∗
, получаем
Z
δ
−δ
Γ
ε
(y) dy < 1, max
|y|>δ
Γ
ε
(y) ≤ Γ
ε
(δ)
−→
ε→+0
0,
а поскольку при подстановке y = y
0
√
ε имеем
Γ
ε
(y) =
1
2
√
πε
e
−
y
2
4ε
=
1
2
√
πε
e
−
(y
0
)
2
4
=
1
√
ε
Γ
1
(y
0
), dy =
√
εdy
0
,
то
Z
|y|>δ
Γ
ε
(y) dy =
Z
|y
0
|>δ/
√
ε
Γ
1
(y
0
) dy
0
−→
ε→+0
0.
12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
