Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теперь из неравенства (2.4
∗
) вытекает соотношение (2.3
∗
). Теорема
доказана.
§ 3. Еще о свойствах преобразования Фурье
Лемма 4
∗
. Если функции f, g лежат в пространстве L
1
, то
справедлива формула
Z
f(x)bg(x) dx =
Z
b
f(x)g(x) dx.
Доказательство. Поскольку интегралы в доказываемой формуле
конечны (ввиду непрерывности функций
b
h(x), bg (x) — см. теорему 1
∗
),
по теореме Фубини имеем
Z
f(x)bg(x) dx =
Z
f(x) dx
Z
g(y)e
−ixy
dy =
Z
g(y) dy
Z
f(x)e
−ixy
dx,
что и требовалось установить.
Теорема 4
∗
(о смысле оператора F
−1
). Если f,
b
f ∈ L
1
, то в любой
точке x непрерывности функции f верно соотношение
f(x) =
F
−1
b
f
(x).
Доказательство. Рассмотрим функцию
h
ε,x
(t)
def
=
1
2π
e
itx−εt
2
.
Применяя к ней преобразование Фурье, вспоминая формулу (1.1
∗
) и
введенную ранее с помощью соотношения (2.1
∗
) функцию Γ
ε
(x), име-
ем
d
h
ε,x
(y) =
1
2π
Z
e
−iyt+itx−εt
2
dt =
1
2π
Z
e
−it(y−x)
e
−εt
2
dt =
=
1
2π
Z
e
−it(y−x)
g
ε
(t) dt =
1
2π
bg
ε
(y − x) =
1
2π
q
π
ε
e
−
(x−y)
4ε
= Γ
ε
(x −y).
Теперь благодаря лемме 4
∗
легко находим
(f ∗ Γ
ε
)(x) =
Z
f(y)Γ
ε
(x −y) dy =
Z
f(y)
b
h
ε,x
(y) dy =
13

Страницы