Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

=
Z
b
f(t)h
ε,x
(t) dt =
1
2π
Z
b
f(t)e
itx
e
−εt
2
dt;
таким образом
(f ∗ Γ
ε
)(x) =
1
2π
Z
b
f(t)e
itx
e
−εt
2
dt. (3.1
∗
)
Если x — точка непрерывности функции, то при ε → 0 левая часть
соотношения (3.1
∗
) стремится к числу f (x) (см. теорему 3
∗
). Подынте-
гральная функция в правой части равномерно (по параметру ε → 0)
стремится к предельной функции на каждом конечном отрезке; таким
образом, выполнены условия теоремы Лебега о возможности предель-
ного перехода под знаком интеграла. Итак, правая часть соотношения
(3.1
∗
) стремится к
1
2π
R
b
f(t)e
itx
dt, т.е. к обратному преобразованию
Фурье от функции
b
f(t).
Теорема доказана.
§ 4. Равенство Парсеваля
Определение 3
∗
. Автокорреляционной функцией от функции
f ∈ L
2
называется фу нкция F , определяемая равенством
F (x) =
Z
f(x + u)f(u) du.
Лемма 5
∗
. Aвтокорреляционная функция F от функции f ∈ L
2
существует и
1) является равномерно непрерывной на всей вещественной оси,
2) для нее справедливо неравенство |F (x)| ≤ kfk
2
2
, ∀x ∈ R
1
.
Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши–Буняковского
Z
gh dy
≤
Z
|g|
2
| dy
1/2
Z
|h|
2
| dy
1/2
для оценки разности |F (x + z) − F (x)|. Полагая в этом неравенстве
g(y) = f(x + y + z) − f(x + y), h(y) = f(y), находим
|F (x + z) − F (x)| =
Z
f(x + y + z) − f(x + y)
f(y) dy
≤
14

Страницы