Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

≤
Z
f(x + y + z) − f(x + y)
2
dy
1/2
kfk
2
.
Ввиду теоремы Лебега при z → 0 интеграл в правой части стремится
к нулю, откуда следует утверждение 1) доказываемой леммы.
Второе утверждение легко получается применением неравенства
Коши–Буняковского для g(y) = f (x + y), h(y) = f(y).
Лемма доказана.
Теорема 5
∗
(равенство Парсеваля). Если f ∈ L
1
∩L
2
, то преобра-
зование Фурье
b
f функции f лежит в пространстве L
2
и справедлива
формула
k
b
fk
2
=
√
2πkfk
2
. (4.1
∗
)
Доказательство. Ввиду теоремы 1
∗
функция
b
f(x) непрерывна и
стремится к нулю при x → ±∞, так что заведомо функция Γ
ε
(x)|
b
f(x)|
2
лежит в пространстве L
1
(напомним, что Γ
ε
∈ L
1
). О чевидны равен-
ства (используем теорему Фубини)
Z
b
Γ
ε
(x)|
b
f(x)|
2
dx =
Z
b
Γ
ε
(x)
b
f(x)
b
f(x) dx =
=
Z
f(y) dy
Z
f(u) du
Z
e
ix(y−u)
b
Γ
ε
(x) dx.
Последний интеграл с точностью до множителя
1
2π
представляет собой
обратное преобразование Фурье от функции
b
Γ
ε
, вычисленное в точке
y − u; по теореме 4
∗
оно равно Γ
ε
(y − u). Итак,
Z
b
Γ
ε
(x)|
b
f(x)|
2
dx = 2π
Z
f(y) dy
Z
f(u)Γ
ε
(y − u) du.
После перестановки порядка интегрирования и подстановки y 7→ x, x =
y − u, в правой части последнего равенства найдем
Z
b
Γ
ε
(x)|
b
f(x)|
2
dx = 2π
Z
f(u) du
Z
Γ
ε
(y − u)f(y) dy =
= 2π
Z
f(u) du
Z
Γ
ε
(x)f(x + u) dx = 2π
Z
Γ
ε
(x) dx
Z
f(x + u)f(u) du.
Здесь подставим корреляцию F (x) функции f,
F (x)
def
=
Z
f(x + u)f(u) du;
15

Страницы