Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Оператор преобразования Фурье
в пространстве L
2
Теорема 6
∗
(распространение оператора Фурье на L
2
). Опера-
тор Фурье может быть однозначно распространен на все функции
f из пространства L
2
с сохранением линейности, ограниченности и
нормы
√
2π; это распространение дается формулой
Ff
(ξ) = lim
A→+∞
Z
A
−A
e
−iξx
f(x) dx, (5.1
∗
)
где предел рассматривается в норме пространства L
2
.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если функция f ле-
жит в пространстве L
2
, то функция f
A
, A > 0, определяемая фор-
мулой
f
A
(x)
def
=
f(x) при |x| ≤ A,
0 при |x| > A,
лежит в пересечении L
1
∩ L
2
, и потому
b
f
A
∈ L
2
(см. теорему 5
∗
).
Нетрудно видеть также, что для любой последовательности чисел
{A
n
}, стремящейся к +∞, соответствующая последовательность функ-
ций {
b
f
A
n
} сходится в себе в пространстве L
2
. Поэтому предел lim
A→+∞
b
f
A
существует и единствен; иначе говоря, существует предел (в смысле
нормы пространства L
2
), упомянутый в правой части соотношения
(5.1
∗
). Ввиду плотности линейного множества L
1
∩L
2
полученное рас-
пространение единственно, а ввиду формулы (4.1
∗
)оно представляет
собой линейный ограниченный оператор с нормой
√
2π.
Теорема 7
∗
(обобщенное равенство Парсеваля). Если f, g ∈ L
2
,
то преобразования Фурье
b
f, bg функций f, g лежат в пространстве
L
2
и справедлива формула
hf, gi = 2πh
b
f, bgi. (5.2
∗
)
Доказательство. Пусть сначала h ∈ L
1
∩L
2
. Прежде всего заме-
тим, что для функций g, f, равных h, g = f = h, соотношение (5.2
∗
)
установлено ранее (см. теорему 5
∗
),
k
b
hk
2
=
√
2πkhk
2
. (5.3
∗
)
17

Страницы