Составители:
Если же h ∈ L
2
, то ввиду плотности L
1
∩L
2
в L
2
найдется последова-
тельность h
n
∈ L
1
∩ L
2
такая, что lim
n→+∞
kh − h
n
k = 0. Подставляя
h
n
в (5.3
∗
), находим
k
c
h
n
k
2
=
√
2πkh
n
k
2
,
откуда, переходя к пределу и используя непрерывность нормы, полу-
чаем (5.3
∗
) для интересующей нас функции h. Итак, ф ормула (5.3
∗
)
справедлива для любой функции h ∈ L
2
.
Для доказательства обобщенного равенства Парсеваля (5.2
∗
) вос-
пользуемся очевидной формулой
8hf, gi = kf + gk
2
2
− kf − gk
2
2
+
kf − igk
2
2
− kf + igk
2
2
/i,
применив ее также и к скалярному произведению 8h
b
f, bgi; в результате
четырехкратного использования формулы (5.3
∗
) для
h = f + g, f − g, f − ig, f + ig
придем к требуемому соотношению (5.2
∗
).
Лемма 6
∗
. Для f, g ∈ L
2
верно соотношение
hf, bgi = h
b
f, gi. (5.4
∗
)
Доказательство. Соотношение (5.4
∗
) справедливо для фу нкций
f, g ∈ L
1
∩ L
2
(см. лемму 4
∗
). Из непрерывности скалярного произве-
дения и плотности множества L
1
∩L
2
вытекает справедливость (5.4
∗
)
для всех f, g ∈ L
2
.
§ 6. Оператор сопряженного отражения
и биективность преобразования Фурье
в пространстве L
2
Определение 3. Оператором сопряженного отражения на-
зовем оператор
S : ψ(x) 7−→ ψ(−x). (6.1)
Лемма 7
∗
. Для f ∈ L
2
справедливы формулы
S
Sf
= f, S
Sf
= f, kSf k
2
= kfk
2
, (6.1
∗
)
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
