Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Покажем, что функция f, определенная формулой
f =
1
2π
c
Sg, (6.4
∗
)
удовлетворяет равенству (6.3
∗
).
Согласно первому из соотношений в (6.2
∗
) найдем
kg −
b
fk
2
2
= k gk
2
2
− 2<hg,
b
fi + k
b
fk
2
2
= kgk
2
2
− 2<hg,
c
Sfi + k
b
fk
2
2
;
здесь и далее <z означает вещественную часть числа z.
Ввиду леммы 6
∗
(см. формулу (5.4
∗
)) имеем
hg,
c
Sfi = hbg, Sfi,
так что
kg −
b
fk
2
2
= k gk
2
2
− 2<hbg, Sfi + k
b
fk
2
2
. (6.5
∗
)
Из формулы (6.4
∗
) с помощью второго из соотношений в (6.2
∗
) полу-
чим
Sf =
1
2π
S
c
Sg
=
1
2π
S
Sbg
=
1
2π
bg;
подставив это в (6.5
∗
), найдем
kg −
b
fk
2
2
= kgk
2
2
− 2<hbg,
1
2π
bgi + k
b
fk
2
2
.
Применив здесь равенство Парсеваля, получаем
kg −
b
fk
2
2
=
1
2π
kbgk
2
2
−
1
π
kbgk
2
2
+ 2πkfk
2
2
. (6.5
∗
)
Последний этап доказательства состоит в использовании формулы
(6.4
∗
), второго соотношения из (6.2
∗
) и третьего соотношения из (6.1
∗
),
что дает
kfk
2
=
1
2π
k
c
Sgk
2
=
1
2π
kS(bg)k
2
=
1
2π
kS(bg)k
2
=
1
2π
kbgk
2
,
так что
kfk
2
=
1
2π
kbgk
2
.
Подставив только что полученный результат в формулу (6.6
∗
), полу-
чаем окончательно
kg −
b
fk
2
2
= 0;
20

Страницы