Составители:
b
f =
c
Sf,
c
Sf = S
b
f. (6.2
∗
)
Доказательство. Первые две формулы в (6.1
∗
) вытекают из опре-
деления (6.1) оператора сопряженного отражения. Третья формула в
(6.1
∗
) также очевидна (делаем подстановку x 7→ x
0
, x
0
= −x):
kSfk
2
2
=
Z
|Sf(x)|
2
dx =
Z
+∞
−∞
|f(−x)|
2
dx =
= −
Z
−∞
+∞
|f(x
0
)|
2
dx
0
=
Z
+∞
−∞
|f(x
0
)|
2
dx
0
= kfk
2
2
.
Доказательство первого из соотношений в (6.2
∗
) вытекает из сле-
дующей цепочки равенств (опять подстановка x 7→ x
0
, x
0
= −x):
c
Sf(ξ) =
Z
f(−x)e
−iξx
dx =
Z
f(−x)e
−iξ(−x)
dx =
Z
f(x
0
)e
−iξx
0
dx
0
=
b
f(ξ).
Для доказательства второго соотношения в (6.2
∗
) имеем
c
Sf(ξ) = F{f(−x)}(ξ) =
Z
f(−x)e
−iξx
dx =
Z
f(x
0
)e
−i(−ξ)x
0
dx
0
=
=
b
f(−ξ) = S
b
f
(ξ).
Лемма полностью доказана.
Теорема 8
∗
(о биективности преобразования Фурье в L
2
). Преоб-
разование Фурье, распространенное по непрерывности на простран-
ство L
2
, является отображением пространства L
2
на себя, т.е.
F{h} ∈ L
2
для любой функции h ∈ L
2
, и какова бы ни была функ-
ция g ∈ L
2
, найдется единственная функция f ∈ L
2
такая, что
b
f = g; (6.3
∗
)
последнее означает,что решение уравнения (6.3
∗
) существует и един-
ственно при любой правой части из L
2
.
Доказательство. По теореме 6
∗
преобразование Фурье перево-
дит пространство L
2
в себя, поэтому для доказательства теоремы до-
статочно установить, что любой элемент g пространства L
2
является
образом некоторого элемента f ∈ L
2
при упомянутом преобразовании.
19
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
