Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

в результате получаем
Z
b
Γ
ε
(x)|
b
f(x)|
2
dx = 2π
Z
Γ
ε
(x)F (x) dx. (4.2
∗
)
Поскольку F (x) — непрерывная функция (см. лемму 5
∗
), то в соот-
ветствии с теоремой 3
∗
имеем
Γ
ε
∗ F (x)
−→
ε→+0
F (x),
что эквивалентно соотношению
Z
Γ
ε
(x − y)F (y) dy
−→
ε→+0
F (x).
Полагая здесь x = 0 и учитывая четность функции Γ
ε
(x −y), находим
Z
Γ
ε
(y)F (y) dy
−→
ε→+0
F (0).
Учитывая последний результат в формуле (4.2
∗
), имеем
Z
b
Γ
ε
(x)|
b
f(x)|
2
dx
−→
ε→+0
2πF (0). (4.3
∗
)
Заметим теперь, что в левой части соотношения (4.3
∗
) можно перейти
к пределу под знаком интеграла. Действительно, из (4.3
∗
) следует, что
b
f ∈ L
2
, и поскольку согласно формуле (2.2
∗
)
0 <
b
Γ
ε
(x)|
b
f(x)|
2
≤ |
b
f(x)|
2
,
то можно воспользоваться теоремой Лебега о переходе к пределу под
знаком интеграла. В результате из (4.3
∗
) находим
Z
|
b
f(x)|
2
dx = 2πF (0).
Отсюда ввиду соотношения F (0) =
R
|f(x)|
2
dx получаем искомое ра-
венство (4.1
∗
).
Теорема доказана.
16

Страницы