Составители:
Свертка обозначается символом ∗, так что h = ϕ ∗ θ.
Теорема 2
∗
(свойства свертки). Если функции ϕ, θ принадлежат
L
1
, то
1) свертка этих функций также принадлежит L
1
, ϕ ∗θ ∈ L
1
,
2) свертка коммутативна: ϕ ∗θ = θ ∗ ϕ,
3) если еще функция f из L
1
, то (ϕ ∗ θ) ∗ f = θ ∗ (ϕ ∗ f), т.е.
свертка ассоциативна.
Доказательство. Для функции
f(x)
def
=
Z
ϕ(y)θ(x −y) dy
справедлива оценка (используем теорему Фубини о перемене порядка
интегрирования, см., например, [20, с. 379])
Z
|f(x)| dx ≤
Z
dx
Z
|ϕ(y)||θ(x −y)| dy =
=
Z
|ϕ(y)| dy
Z
|θ (x − y )| dx,
так что после замены x 7→ x
0
, x
0
= x − y имеем
Z
|f(x)| dx ≤
Z
|ϕ(y)| dy
Z
|θ (x
0
)| dx
0
.
Теперь видно, что из конечности последних двух интегралов следу-
ет конечность интеграла в левой части последнего неравенства; этим
доказано свойство 1).
Доказательство второго свойства сводится к перестановке ин-
тегралов (по теореме Фубини см. [20, с.384]) и к замене переменной
интегрирования. Аналогично доказывается и третье свойство.
Теорема доказана.
Лемма 2. Если ϕ, θ ∈ L
1
, то справедливо соотношение
F
ϕ ∗ θ
(ξ) = bϕ(ξ) ·
b
θ(ξ). (2.2)
Доказательство. Применяя преобразование Фурье к сверт-
ке (2.1), находим
F
ϕ ∗ θ
(ξ) = F
Z
ϕ(x)θ(y − x) dx
(ξ) =
10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
