Составители:
будем называть обобщенной функцией Хевисайда.
Очевидно, функция Хевисайда не лежит в L
1
, а ее преобразова-
ние Фурье в обычном смысле не существует (интеграл
R
χ(x)e
−ixξ
dx
расходится).
Лемма 1
∗
(Преобразование Фурье обобщенной функции Хевисайда).
При a > 0 обобщенная функция Хевисайда χ
a
лежит в L
1
, а ее пре-
образование Фурье существует и вычисляется по формуле
cχ
a
(ξ) =
1
a + iξ
.
Доказательство. Принадлежность функции χ
a
пространству L
1
очевидна; следовательно, ее преобразование Фурье cχ
a
существует:
cχ
a
(ξ) =
Z
+∞
0
e
−ax
e
−ixξ
dx = −
1
a + iξ
e
−x(a+iξ)
x=+∞
x=0
=
1
a + iξ
.
Определение 2
∗
(Функция Гаусса). Функция вида
g(x)
def
=
e
−x
2
называется функцией Гаусса. Функцию
g
a
(x)
def
=
e
−ax
2
, a > 0,
будем называть обобщенной функцией Гаусса.
Лемма 2
∗
(Преобразование Фурье обобщенной функции Гаусса).
Обобщенная функция Гаусса g
a
лежит в L
1
, а ее преобразование Фу-
рье существует и вычисляется по формуле
bg
a
(ξ) =
q
π
a
e
−
ξ
2
4a
. (1.1
∗
)
Доказательство. Принадлежность функции g
a
пространству L
1
сомнений не вызывает. Для отыскания ее преобразования Фурье сна-
чала рассмотрим интеграл
F (y)
def
=
Z
e
−ax
2
+xy
dx.
8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
