Составители:
Докажем теперь утверждения 3) и 4), причем начнем с последнего.
В условиях существования производной f
0
, сама функция f непре-
рывна и ввиду предположения f ∈ L
1
необходимо lim
|x|→+∞
f(x) = 0;
поэтому при интегрировании по частям в интеграле
F
f
0
(x)
(ξ) =
Z
e
−ixξ
df(x)
внеинтегральные члены пропадают, и в результате находим
F
f
0
(x)
(ξ) = iξ
Z
e
−ixξ
f(x) dx,
что и требовалось. Утверждение 4) доказано.
Для доказательства утверждения 3) по произвольному ε > 0 най-
дем функцию h
ε
(x) такую, что h
ε
, h
0
ε
∈ L
1
и kf − h
ε
k
1
< ε. Имеем
|
b
f(ξ)| ≤ |
b
f(ξ) −
b
h
ε
(ξ)| + |
b
h
ε
(ξ)|.
Применив утверждение 1) к первому слагаемому и утверждения 4) и
1) — ко второму, получим
|
b
f(ξ)| ≤ kf − h
ε
k
1
+ |
b
h
0
ε
(ξ)|/|ξ| ≤ ε + kh
0
ε
k
1
/|ξ|,
откуда следует утверждение 3).
Теорема полностью доказана.
Следствие 1
∗
(О линейности и ограниченности оператора F как
оператора из пространства L
1
в L
∞
). Оператор Фурье F являет-
ся линейным ограниченным оператором, действующим из простран-
ства L
1
в пространство L
∞
.
Доказательство. Ввиду доказанной теоремы линейность и ад-
дитивность очевидны, а ограниченность вытекает из утверждения 1)
упомянутой теоремы.
Рассмотрим два важных примера функций из пространства L
1
и
их преобразования Фурье.
Определение 1
∗
(Функция Хевисайда). Функция вида
χ(x) =
n
0 при x < 0,
1 при x ≥ 0
называется функцией Хевисайда. Функцию
χ
a
(x)
def
=
e
−ax
χ(x), a ≥ 0,
7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
